Geometrie

Geometrie je oblast matematiky, která se zabývá studiem tvarů, velikostí a prostorových vztahů mezi objekty. Geometrie rozvíjí naši prostorovou představivost a hraje důležitou roli v každodenním životě – pomáhá nám chápat a popisovat svět kolem nás, od měření vzdáleností až po architektonické návrhy budov. Na její bohaté využití narazí nejen inženýři a architekti, ale třeba i grafičtí návrháři při tvorbě plakátu či vývojáři počítačových her při vykreslování pohybu postavičky.

Geometrie je široké téma, které má řadu podtémat:

• Prostorová představivost – rozvíjení schopnosti vnímat a představit si tvary v rovině i v prostoru
• Geometrické pojmy – základní pojmy jako jsou body, přímky, roviny, úhly
• Rovinné útvary – seznámení s různými tvary v rovině, například s trojúhelníky, čtverci a kruhy
• Prostorové útvary – studium trojrozměrných objektů jako jsou krychle, koule nebo válce
• Obsah a obvod – výpočet obsahu a obvodu různých rovinných útvarů
• Objem a povrch – vypočet objem a povrch prostorových útvarů
• Úhly – práce s úhly, jejich měření a vztahy mezi nimi
• Geometrické konstrukce – postupy a nástroje potřebné pro konstrukci geometrických objektů
• Operace a vlastnosti v rovině – souměrnosti, posunutí, otáčení a další operace s rovinnými tvary
• Analytická geometrie – využití souřadnicového systému k popisu geometrických útvarů a jejich vlastností

Prostorová představivost nám pomáhá vnímat a rozumět tvarům kolem nás, ať už na papíře nebo ve skutečném světě. Procvičování je děleno do více podtémat rozličné obtížnosti:

• Prostorová představivost v rovině – práce s tvary na ploché rovině
• Prostorová představivost: 3D objekty – schopnost představit si, jak vypadá trojrozměrné těleso z jiného úhlu pohledu
• Nárys, půdorys, bokorys – různé způsoby zobrazení objektů
• Počty vrcholů, stěn, hran – počítání základních prvků prostorových těles
• Síť krychle – skládání krychle z plochých částí
• Sítě těles – navazuje na předchozí téma a zabývá se i složitějšími 3D tělesy
• Řezy krychle – řezání krychle rovinou
• Řezy těles – řezání dalších prostorových těles

Nárys, bokorys a půdorys slouží k dvojrozměrnému zakreslení trojrozměrného objektu pomocí pravoúhlého promítání. Každý z nich zachycuje pohled na objekt z jiného směru:

• Nárys je pohled z přední strany.
• Bokorys je pohled z boční strany.
• Půdorys je pohled shora.

Pro počet vrcholů v, hran h a stěn s konvexního mnohostěnu platí Eulerova věta: v - h + s = 2.

Počty vrcholů, stěn a hran pro pravidelné mnohostěny:

Síť krychle můžeme zakreslit 11 různými způsoby:

Síť tělesa je rovinné zakreslení, ze kterého jde poskládat plášť tělesa. Příklady sítí:

Síť tělesa jde většinou zakreslit mnoha různými způsoby. Síť krychle můžeme zakreslit takto:

Na rozdíl od běžného jazyka, kde mají slova většinou několik významů, v matematice používáme pojmy s přesně definovaným významem. To je velmi užitečné, protože se díky tomu můžeme vyjadřovat stručně a přitom jednoznačně. V geometrii se využívá řada pojmů.

Pozn. Přesné definice rovnoramenného trojúhelníku se liší: někteří autoři vyžadují „alespoň“ dvě strany shodné, jiní „právě“ dvě strany shodné. Rozdíl je v tom, zda rovnostranné trojúhelníky považujeme za rovnoramenné.

Rovinné útvary jsou množiny bodů v rovině, tedy jde o dvourozměrné útvary. Nejznámější rovinné útvary jsou například čtverec, obdélník, trojúhelník, kružnice, kruh, rovnoběžník, lichoběžník, pravidelný nebo nepravidelný mnohoúhelník.

U některých rovinných útvarů umíme jednoduše spočítat jejich obvod a obsah.

Trojúhelník je základní geometrický útvar, který má tři vrcholy a tři strany. Trojúhelníky hrají v geometrii klíčovou roli, protože mnoho problémů lze řešit tak, že složitější obrazce rozdělíme na trojúhelníky a následně pracujeme s nimi.

Značení stran a úhlů v trojúhelníku:

Proti vrcholu A je strana a, proti vrcholu B je strana b a proti vrcholu C je strana c.

Výšky příslušné stranám v trojúhelníku:

Výška v_a je vzdálenost bodu A od přímky, na které leží strana a. Tedy je to vzdálenost bodu A od paty kolmice na přímku BC vedené bodem A. Tato pata kolmice může a nemusí ležet přímo na straně a.

Témata související s trojúhelníkem:

• Pojmy související s trojúhelníkem – rovnoramenný, rovnostranný, výška, tečna, kružnice opsaná
• Obvod trojúhelníku, Obsah trojúhelníku – výpočty na základě zadaných údajů o trojúhelníku
• Úhly v trojúhelníku – součet úhlů, výpočty úhlů
• Konstrukční úlohy s trojúhelníky – narýsování trojúhelníku na základě zadaných údajů, např. za využití vět sss, sus, usu
• Pythagorova věta, Euklidovy věty, Goniometrické funkce – témata související s pravoúhlými trojúhelníky

Obsah trojúhelníku spočítáme jako součin délky libovolné strany trojúhelníka a výšky příslušné k této straně, takže: S_{\triangle} = \frac12 \cdot a \cdot v_a = \frac12 \cdot b \cdot v_b = \frac12 \cdot c \cdot v_c

Což si můžeme představit jako polovinu obsahu obdélníku, ve kterém je náš trojúhelník takto vepsán:

Příklady k obsahu:

• Trojúhelník ABC: Délka strany \left| AB \right| je 2. Velikost k ní příslušné výšky v_c je 3. Obsah trojúhelníku ABC je roven \frac12 \cdot 2 \cdot 3 = 3.
• Trojúhelník DEF: Nevadí nám, že trojúhelník na náčrtku vypadá zvláštně natočený. Známe délku strany \left| DE \right|, což je 3. Velikost k ní příslušné výšky v_f je 4. Obsah trojúhelníku DEF je roven \frac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6.

• Trojúhelník GHI: Nevadí nám ani když je pata kolmice, na které leží výška, mimo stranu trojúhelníka. Délka strany \left| GH \right| je 1. Velikost k ní příslušné výšky v_i je 2. Obsah trojúhelníku GHI je \frac12 \cdot 2 \cdot 1 = 1.
• Trojúhelník JKL: S pravoúhlým trojúhelníkem si také poradíme. Délka strany \left| JK \right| je 4. Velikost k ní příslušné výšky v_l je 3 (a je to zároveň i délka strany KL našeho trojúhelníku). Obsah trojúhelníku JKL je \frac12 \cdot 4 \cdot 3 = 6.

Obvod trojúhelníku spočítáme jako součet délek jeho stran: o=a+b+c

Příklad:

Trojúhelník na obrázku má délky stran a=10, b=8, c=14, takže jeho obvod je o=a+b+c=10+8+14=32.

Pythagorova věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlého trojúhelníku. Věta zní: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma jeho odvěsnami. Pythagorovu větu můžeme zapsat vztahem c^2 = a^2 + b^2, kde c označuje délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou a, b.

Následující obrázek znázorňuje graficky znění věty a také „obrázkový důkaz“ této věty:

Platí i opačný směr: Pokud má trojúhelník strany délek a, b, c, které splňují rovnost c^2 = a^2 + b^2, pak musí jít o pravoúhlý trojúhelník s přeponou c.

Pythagorova věta umožňuje dopočítat délku třetí strany pravoúhlého trojúhelníka, u kterého známe délky dvou zbývajících stran:

• Délka přepony c = \sqrt{a^2 + b^2}. Pokud má pravoúhlý trojúhelník odvěsny délky 3 metry a 6 metrů, přepona má délku \sqrt{3^2+6^2} = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} \doteq 6{,}41 metrů.

• Délka odvěsny a = \sqrt{c^2-b^2}. Pokud má trojúhelník přeponu délky 8 metrů a jedna z odvěsen má délku 4 metry, druhá odvěsna má délku \sqrt{8^2-4^2} = \sqrt{64-16} = \sqrt{48} \doteq 6{,}93 metrů.

Pythagorejské trojice jsou trojice celých čísel, které splňují a^2+b^2=c^2, tj. trojúhelník s příslušnými délkami stran je pravoúhlý. Typickým příkladem Pythagorejské trojice je (3, 4, 5): 3^2 + 4^2 = 9+16 = 25 = 5^2.

Další příklady Pythagorejských trojic: (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (9, 40, 41). Mezi Pythagorejské trojice patří také všechny násobky těchto trojic, např. (6, 8, 10); (9, 12, 15); (10, 24, 26). Pokud si zapamatujeme některé základní Pythagorejské trojice, především nejjednodušší trojici (3, 4, 5), tak nám to může usnadnit výpočty.

Pythagorova věta má v geometrii velice široké využití, protože mnoho složitějších útvarů můžeme rozložit na pravoúhlé trojúhelníky.

Typickým příkladem aplikace Pythagorovy věty je výpočet délky uhlopříčky čtverce nebo výšky rovnostranného trojúhelníku:

Ve čtverci o straně a tvoří uhlopříčka přeponu pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami délky a. Pro délku uhlopříčky u tedy platí u^2 = a^2 + a^2. Po úpravách: u = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. Například čtverec o straně 10 cm tedy má uhlopříčku délky 10\cdot \sqrt{2} \doteq 14,1 cm.

V rovnostranném trojúhelníku o straně a tvoří výška odvěsnu pravoúhlého trojúhelníku s přeponou délky a a odvěsnou délky \frac{a}{2}. Pro délku výšky v tedy platí v^2 + \large(\frac{a}{2}\large)^2 = a^2. Po úpravách dostáváme v^2 = a^2 - \frac{a^2}{2^2} = \frac{3}{4}a^2, v = a\frac{\sqrt{3}}{2}. Například v rovnostranném trojúhelníku o straně 5 metrů má tedy výška délku \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 5 \doteq 4,33 metru.

Euklidovy věty jsou dvě tvrzení o vlastnostech pravoúhlého trojúhelníku.

Euklidova věta o výšce

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony:

v_c^2 = c_a\cdot c_b

Euklidova věta o odvěsně

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.

• a^2 = c\cdot c_a
• b^2 = c\cdot c_b

Pozn. Přesné definice rovnoramenného trojúhelníku se liší: někteří autoři vyžadují „alespoň“ dvě strany shodné, jiní „právě“ dvě strany shodné. Rozdíl je v tom, zda rovnostranné trojúhelníky považujeme za rovnoramenné.

Při výpočtu velikosti neznámého úhlu v trojúhelníku využíváme základní vlastnosti, že součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°.

Speciální případy:

• V rovnostranném trojúhelníku mají všechny vnitřní úhly velikost 60°.
• V rovnoramenném trojúhelníku jsou oba úhly u základny stejné.
• V pravoúhlém trojúhelníku je velikost jednoho úhlu 90°, součet velikostí zbývajících dvou úhlů je také 90°.

Při výpočtu lze využít i vrcholových a vedlejších úhlů.

Příklad: Určete velikost oranžového úhlu.

Úhel u vrcholu B tvoří s úhlem o velikosti 30° dvojici vrcholových úhlů. Jeho velikost je tedy 30°. Úhel u vrcholu A tvoří s úhlem o velikosti 100° dvojici vedlejších úhlů. Jeho velikost je tedy 180°-100°=80°. Pro velikost neznámého úhlu u vrcholu C pak platí: 180°-80°-30°=70°

Při řešení jednodušších úloh provádíme konstrukce trojúhelníků se známými délkami stran. Nesmíme přitom zapomínat, že platí tzv. trojúhelníková nerovnost, tedy že součet dvou stran je větší než třetí strana. Jednoduše řečeno, jedině pokud je součet dvou nejkratších stran větší než třetí strana, trojúhelník lze sestrojit.

Občas má některý trojúhelník zajímavou vlastnost, která nám pomůže odvodit si potřebné informace k jeho konstrukci — může být např. rovnoramenný nebo rovnostranný.

Při řešení složitějších příkladů využíváme věty o sestrojitelnosti trojúhelníků.

U nejtěžších příkladů využíváme při konstrukci další pojmy související s trojúhelníkem, například výška, těžnice, či množiny bodů daných vlastností.

Při konstrukci trojúhelníků můžeme každou stranu označit dvěma způsoby:

• přímo – strana a
• pomocí vrcholů – strana BC

Při konstrukcích také můžeme zaměňovat označení strany a její délky. Můžeme psát a=|BC|. Je třeba myslet i na pravidlo, že strana je pojmenovaná podle protějšího vrcholu.

Při konstrukcích trojúhelníků, u kterých známe tři strany, postupujeme tak, že sestrojíme jako první libovolnou stranu, na obrázku například AB. K nalezení posledního vrcholu C použijeme dvě kružnice nebo jejich části. Výsledkem konstrukce jsou dva shodné (stejné) trojúhelníky, proto stačí sestrojit jen jeden.

Při konstrukci rovnoramenného trojúhelníku využíváme jeho základní vlastnosti:

• Má dvě strany (ramena) shodné. Vrchol proti základně tedy leží na ose základny.
• Shodné (stejně velké) jsou i vnitřní úhly při základně.
• Výška kolmá na základnu leží na ose základny a dělí rovnoramenný trojúhelník na dva shodné trojúhelníky.

Rovnostranný trojúhelník můžeme chápat jako speciální případ rovnoramenného trojúhelníka. Má všechny strany stejně dlouhé a velikost všech jeho vnitřních úhlů je 60°.

Při složitějších příkladech využíváme věty o sestrojitelnosti trojúhelníků (kde s značí stranu a u úhel):

• Věta sss — v trojúhelníku jsou dány délky všech stran, pro které platí trojúhelníková nerovnost.
• Věta sus— v trojúhelníku jsou dány délky dvou stran a velikost úhlu, který svírají (menší než 180°).
• Věta usu — v trojúhelníku je dána délka jedné strany a velikosti 2 úhly k ní přiléhající (součet velikostí daných úhlů je menší než 180°).
• Věta Ssu — známe velikosti dvou stran trojúhelníka a velikost úhlu proti větší z těchto stran (velikost zadaného úhlu je menší než 180°).

Tyto věty také používáme při určení shodnosti trojúhelníků.

Při řešení složitějších příkladů použijeme další pojmy související s trojúhelníkem, například výška, těžnice, střední příčka, kružnice opsaná či vepsaná.

Těžnice je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a jejich průsečík tvoří těžiště trojúhelníku. Těžiště rozděluje každou těžnici v poměru 2 : 1. Delší část těžnice je úsečka mezi vrcholem a těžištěm.

Střední příčka trojúhelníku je úsečka, která spojuje středy 2 stran v trojúhelníku. Je rovnoběžná se stranou, jejíž střed nespojuje a její délka je rovna polovině délky této strany.

Kružnice opsaná je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Její střed leží v průsečíku os stran. To znamená, že střed kružnice opsané je stejně vzdálen od všech vrcholů trojúhelníku.

Kružnice vepsaná je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. Její střed leží v průsečíku os vnitřních úhlů trojúhelníku. To znamená, že střed kružnice vepsané je stejně vzdálen od všech tří přímek, na kterých leží strany trojúhelníku.

Obdélník patří mezi čtyřúhelníky. Je to rovnoběžník, který má všechny vnitřní úhly pravé.

Čtverec je zvláštní případ obdélníku, který má všechny strany stejně dlouhé.

Obvod čtverce o straně délky a je o=a+ a+a+a= 4a.

Obvod obdélníku se stranami o délkách a,b je roven o=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Obsah čtverce o straně délky a je S=a\cdot a=a^2.

Obsah obdélníku se stranami o délkách a,b je roven S=a\cdot b.

Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné. Dříve se označoval také jako kosodélník.

Speciální případy rovnoběžníku:

• Kosočtverec má všechny strany stejně dlouhé.
• Obdélník má vnitřní úhly pravé.
• Čtverec má vnitřní úhly pravé a všechny strany stejně dlouhé.

Obvod rovnoběžníku se stranami o délkách a,b je roven S=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Obsah rovnoběžníku ve kterém ke straně o délce a přísluší výška v_a spočítáme jako S= a\cdot v_a.

Lichoběžník je čtyřúhelník, jehož dvě protější strany jsou rovnoběžné (říkáme jim základny) a zbývající dvě protější strany jsou různoběžné.

Pravoúhlý lichoběžník má dva z vnitřních úhlů pravé (základny lichoběžníku jsou rovnoběžné, je‑li jeden vnitřní úhel pravý, musí být jeho doplněk do 180^{\circ} u druhé základny také pravý).

Rovnoramenný lichoběžník má ramena stejné délky.

Obvod lichoběžníku je součet délek jeho stran. Tedy obvod lichoběžníku ABCD se stranami o délkách a,b,c,d vypočítáme podle vzorečku o=a+b+c+d.

Obsah lichoběžníku se základnami o délkách a,c a výškou v spočítáme podle vzorečku S=\frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot v.

Intuice za tímto vzorečkem je vidět na následujícím obrázku. Obsah lichoběžníku je roven součtu obsahů dvou trojúhelníků.

• První trojúhelník má výšku v příslušnou ke straně délky a. Jeho obsah je S_{ABC}=\frac{1}{2} \cdot a \cdot v.
• Druhý trojúhelník má výšku v příslušnou ke straně délky c. Jeho obsah je S_{ACD}=\frac{1}{2} \cdot c \cdot v.

Součet obsahů těchto dvou trojúhelníků je S = S_{ABC} + S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot v + \frac{1}{2} \cdot c \cdot v = \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot v

Kružnice s daným středem S a poloměrem r je tvořena všemi body v rovině, které jsou od středu vzdáleny přesně o r. U každého bodu v rovině pak můžeme určit, kde leží:

• na kružnici (jejich vzdálenost od S je rovna r)
• ve vnitřní oblasti kružnice (jejich vzdálenost od S je menší než r, tyto body neleží na kružnici)
• ve vnější oblasti kružnice (jejich vzdálenost od S je větší než r, tyto body také neleží na kružnici)

Kruh s daným středem S a poloměrem r je tvořen všemi body v rovině, které jsou od středu vzdáleny nejvýše o r. Kruh s daným středem a poloměrem je tedy sjednocení kružnice se stejným středem a poloměrem a její vnitřní oblasti. Střed S kruhu je bod, který patří do kruhu. (Zatímco střed kružnice neleží na kružnici, ale v její vnitřní oblasti.)

Vzorec pro obvod kruhu

Obvod kruhu (i kružnice) o poloměru r je o=2\pi r. Pro průměr d platí o = \pi d.

Konstanta \pi se nazývá též Ludolfovo číslo. \pi je iracionální číslo, což znamená, že nejde vyjádřit zlomkem ani zapsat přesně v desítkové soustavě. Přibližná hodnota \pi je 3,141 592 65.

Při výpočtu obvodu kruhu dáváme dobrý pozor na to, zda vycházíme ze znalosti poloměru nebo průměru. Záměna průměru za poloměr je častou chybou.

Intuice

Základní intuici za vzorcem pro výpočet obvodu kruhu přibližuje níže uvedený obrázek. Obvod oranžového čtverce je 8\cdot r. Obvod kruhu je „o trochu menší“ – je to 2\pi \cdot r \approx 6{,}3 \cdot r.

Příklady

• Mějme kruh o poloměru 3 cm. Jeho obvod je 2\pi \cdot 3 \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 \approx 18{,}8 cm.
• Kružnice o průměru 2 cm má délku \pi \cdot 2 \approx 6,3 cm.
• Středový kruh na fotbalovém hřišti má poloměr 9{,}1 metru. Pokud jej chceme obejít po jeho okrajové čáře, ujdeme 2 \pi \cdot 9{,}1 \approx 57 metrů.

Vzorec pro obsah kruhu

Obsah kruhu o poloměru r je S=\pi r^2. Pro průměr d platí S = \frac{1}{4} \pi d^2.

Konstanta \pi se nazývá též Ludolfovo číslo. \pi je iracionální číslo, což znamená, že nejde vyjádřit zlomkem ani zapsat přesně v desítkové soustavě. Přibližná hodnota \pi je 3,141 592 65.

Při výpočtu obsahu kruhu dáváme dobrý pozor na to, zda vycházíme ze znalosti poloměru nebo průměru. Záměna průměru za poloměr je častou chybou.

Intuice

Základní intuici za vzorcem pro výpočet obsahu kruhu přibližuje níže uvedený obrázek. Žluté čtverce mají obsah r^2. Oranžový čtverec se skládá ze čtyř žlutých čtverců, takže má obsah 4\cdot r^2. Kruh má „o trochu menší“ obsah než oranžový čtverec, což odpovídá tomu, že obsah kruhu je přibližně 3{,}14 \cdot r^2.

Příklady

• Mějme kruh o poloměru 3 cm. Jeho obsah je \pi \cdot 3^2 \approx 3{,}14\cdot 9 \approx 28,3 cm².
• Uvažujme kružnici o průměru 2 cm. Její vnitřní oblast má obsah \frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \pi \approx 3,14 cm².
• Středový kruh na fotbalovém hřišti má poloměr 9{,}1 metru. Pokud bychom chtěli veškerou trávu v kruhu nabarvit na růžovo, museli bychom nabarvit \pi \cdot 9{,}1^2 \approx 260 m² trávy.

Středový úhel

• Úhel s vrcholem ve středu S kružnice k, jehož ramena procházejí krajními body A, B oblouku kružnice k.
• Pro každé dva body na kružnici lze určit dva středové úhly. Každý přísluší tomu oblouku, který v daném úhlu leží.

Obvodový úhel

• Úhel, jehož vrchol V leží na kružnici k a jeho ramena procházejí body A, B oblouku kružnice k (A \neq V \neq B)
• Všechny obvodové úhly příslušné oblouku AB s vrcholem V, který na oblouku neleží, mají stejnou velikost.
• Velikost středového úhlu \omega se rovná dvojnásobku velikosti obvodového úhlu \varphi příslušného ke stejnému oblouku, \omega = 2\cdot\varphi.
• Thaletova věta: Obvodový úhel nad průměrem kružnice je pravý.

Úsekový úhel

• Úhel, jenž svírá tětiva AB kružnice k s tečnou t kružnice v bodě A nebo B.
• Velikost úsekového úhlu je stejná jako velikost obvodového úhlu nad obloukem AB.

Příklad 1: Určete velikost oranžového úhlu.

Úhel o velikosti 55^\circ je úsekový úhel příslušný tětivě AB. Víme, že velikost úsekového a příslušného obvodového úhlu jsou stejné, tedy 55^\circ. Neznámý úhel je středový úhel příslušný menšímu oblouku AB. Jeho velikost je dvojnásobkem velikosti obvodového úhlu, tedy 2\cdot55^\circ=110^\circ.

Příklad 2: Určete velikost oranžového úhlu.

Neznámý úhel je obvodovým úhlem nad menším obloukem s koncovými body 2 a 7. Určíme velikost příslušného středového úhlu. Z kapitoly úhly a mnohoúhelníky víme, že velikost středového úhlu pravidelného n-úhelníku je \frac{360^\circ}{n}. Pro pravidelný dvanáctiúhelník je tedy úhel mezi spojnicemi dvou vedlejších vrcholů a středu \frac{360^\circ}{12}=30^\circ. Středový úhel příslušný oblouku 2 a 7 je pak 5\cdot30^\circ=150^\circ. Hledaný obvodový úhel má poloviční velikost, tedy 150^\circ:2=75^\circ.

Obsah kruhové výseče

Obsah kruhové výseče se středovým úhlem \alpha a poloměrem r spočítáme jako: \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot r^2

Příklady

• Kruhová výseč na obrázku má obsah: \frac{150^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot 3^2 = \frac{5}{12} \cdot \pi \cdot 9 = \frac{15}{4} \pi

• Obsah celého kruhu (výseče se středovým úhlem 360^{\circ}) je: \frac{360^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot r^2 = \pi \cdot r^2

Délku oblouku, který na kružnici o poloměru r odpovídá středovému úhlu \alpha spočítáme jako: \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi \cdot r

Příklad – délka oblouku odpovídajícího 90^{\circ}

Délka oblouku na obrázku je:

\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{1}{4} \cdot 6 \pi = \frac{3}{2}\pi

Jedná se o čtvrtinu délky kružnice.

Prostorové útvary jsou množiny bodů v prostoru, tedy jde o třírozměrné útvary. Nejznámější prostorové útvary jsou krychle, kvádr, jehlan, koule, hranol, válec a kužel.

U některých prostorových útvarů umíme jednoduše spočítat jejich objem a povrch.

Krychle a kvádr jsou oba prostorové geometrické útvary, které patří mezi mnohostěny, speciálněji jde o zvláštní případy hranolů.

Krychle je prostorový útvar, který má šest stěn, tvar každé stěny je čtverec. Všechny hrany krychle mají stejnou délku a všechny vnitřní úhly jsou pravé, tedy jejich velikost je 90°. Příklady krychle v běžném životě zahrnují kostky cukru nebo Rubikovu kostku.

Pro výpočet objemu krychle použijeme vzorec V = a^3, kde a je délka hrany krychle.

Povrch krychle s délkou hrany a se vypočítá pomocí vzorce S = 6a^2.

Kvádr je také hranol, ale na rozdíl od krychle mají jeho stěny tvar obdélníků. Kvádr má tři rozměry: šířku, délku a výšku, které nemusí být stejné, jako je tomu u krychle. Kvádr má šest stěn, tvar každé stěny je obdélník nebo čtverec, pokud jsou všechny stěny tvaru čtverce, jde o krychli.

Příklady kvádrů v běžném životě zahrnují krabice, knihy nebo cihly.

Objem kvádru získáme vzorcem V = a \cdot b \cdot c, kde a,b,c jsou rozměry kvádru.

Povrch kvádru vypočítáme jako součet obsahů všech jeho šesti obdélníkových stěn S = 2(ab + bc + ac). Dvojice protějších stěn jsou shodné obdélníky, proto mají stejné obsahy.

Objem kvádru s délkami hran a,b,c je: V=a\cdot b\cdot c

Objem krychle s délkou hrany podstavy a spočítáme stejným způsobem, jako objem kvádru s a=b=c, tedy: V=a\cdot a\cdot a=a^3

Povrch kvádru s délkami hran a,b,c spočítáme jako součet obsahů všech jeho stěn. Tedy: S=2 (a\cdot b + a\cdot c + b \cdot c)

Povrch krychle s délkou hrany podstavy a spočítáme stejným způsobem, jako objem kvádru s a=b=c, tedy šestkrát obsah jedné čtvercové stěny krychle: S = 6\cdot a\cdot a = 6a^2

Síť krychle můžeme zakreslit 11 různými způsoby:

Hranol je prostorový geometrický útvar, který má dvě shodné podstavy umístěné v různých rovinách. Budeme se zabývat kolmými hranoly, ve kterých odpovídající strany podstavy jsou vždy spojené boční stěnou tvaru obdélníka nebo čtverce. (Pro kosé hranoly jsou boční stěny rovnoběžníky.) Podstavy hranolu mohou mít rozličné tvary, například mohou být trojúhelníkové, čtvercové, obdélníkové nebo i mnohoúhelníkové.

Vzorečky pro objem a povrch hranolu

Pro výpočet objemu hranolu používáme vzorec V = S_p \cdot v, kde S_p je obsah jedné podstavy a v je výška hranolu.

Síť hranolu se skládá ze dvou podstav a pláště, proto jeho povrch vypočítáme jako součet obsahů podstav a obsahu pláště: S = 2S_p + S_{pl}, kde S_{pl} je obsah pláště, což je součet obsahů všech obdélníkových nebo čtvercových stěn tvořících plášť.

Příklady hranolů

Pravidelný n-boký hranol má jako podstavy dva pravidelné n-úhelníky.

Speciální případy čtyřbokých hranolů jsou kvádr a krychle. Kvádr může a nemusí být pravidelný čtyřboký hranol. Krychle je pravidelný čtyřboký hranol, který navíc splňuje a=v.

Objem hranolu, který má podstavu o obsahu S_p a výšku v, spočítáme jako V=S_p \cdot v.

Povrch hranolu, který má podstavu o obsahu S_p plášť o obsahu S_{pl}, spočítáme jako S=2S_p + S_{pl}. Plášť hranolu je tvořen všemi jeho stěnami kromě dvou podstav.

Povrch pravidelného n‑bokého hranolu, který má dvě podstavy ve tvaru pravidelných n‑úhelníků a potom n stejných obdélníkových stěn (obsah jedné označme S_1), spočítáme takto: S=2S_p + n\cdot S_1

Jehlan je prostorový geometrický útvar, který má jednu podstavu a plášť tvořený trojúhelníky. Podstava jehlanu může být libovolný mnohoúhelník (například čtverec, obdélník nebo trojúhelník) a všechny boční stěny (plášť) se setkávají v jednom společném bodě nazývaném vrchol jehlanu. Příkladem jehlanů jsou pyramidy ze starověkého Egypta, vypadají zhruba jako jehlany se čtvercovou podstavou a čtyřmi trojúhelníkovými bočními stěnami.

Vzorce pro objem a povrch

Objem jehlanu V = \frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy a v je výška jehlanu, což je vzdálenost vrcholu od roviny podstavy. (Velikost výšky jehlanu získáme jako délku úsečky, která vede od vrcholu k rovině podstavy a je kolmá na tuto rovinu.)

Povrch jehlanu získáme jako součet obsahu podstavy a obsahu pláště S_p (obsah pláště je roven součtu obsahů všech bočních trojúhelníkových stěn jehlanu). Celkově je povrch jehlanu S = S_p + S_{pl}, v případě pravidelného šestibokého jehlanu na obrázku je: S=Sp + 6 \cdot S_{\Delta}

Některé jehlany mají pravidelnou podstavu, vrchol umístěný přímo nad středem podstavy a všechny trojúhelníkové stěny z pláště stejné, ale obecně se může výpočet obsahu každé z těchto trojúhelníkových stěn lišit v závislosti na tvaru podstavy jehlanu.

Speciální případy

Pravidelný čtyřstěn je jehlan, jehož základna i všechny tři boční stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Je jedním z Platónských těles.

Pokud máme pravidelný čtyřstěn, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky s délkou každé strany a, umíme si pomocí Pythagorovy věty spočítat výšku každého z těchto rovnostranných trojúhelníků \frac{\sqrt{3}}{2} a.

Pravidelný n-boký jehlan má jako podstavu pravidelný n-úhelník, jeho plášť tvoří n rovnoramenných trojúhelníků. Například podstava pravidelného čtyřbokého jehlanu je čtverec, jeho plášť tvoří čtyři rovnoramenné trojúhelníky.

Objem jehlanu, který má podstavu o obsahu S_p a výšku v, spočítáme jako V=\frac{1}{3} S_p \cdot v.

Oproti hranolu se stejnou výškou a tvarem podstavy má jehlan třikrát menší objem.

Povrch jehlanu spočítáme jako součet obsahu jeho podstavy S_p a obsahu jeho pláště S_{pl}. Obsah pláště spočítáme jako součet obsahů stěn jehlanu, které tvoří plášť (tj. všechny stěny jehlanu kromě jeho podstavy).

Povrch pravidelného n‑bokého jehlanu, který má podstavu ve tvaru pravidelného n‑úhelníka a potom n stejných trojúhelníkových stěn (obsah jedné označme S_1), spočítáme takto: S= S_p + n\cdot S_1

Válec je těleso, které vznikne rotací obdélníku v prostoru okolo jedné strany.

Válec má dvě podstavy tvaru kruhu, je jednoznačně určen poloměrem (nebo průměrem) podstavy a výškou.

Vzorečky pro objem a povrch válce

Objem válce spočítáme podobně jako u hranolu V=S_p \cdot v, kde S_p je obsah kruhové podstavy. Celkově je tedy objem válce: V=\pi \cdot r^2 \cdot v

Povrch válce je součet obsahů jeho dvou podstav a obsahu pláště S = 2\cdot S_p + S_{pl}. Podstavy jsou ve tvaru kruhu a plášť můžeme rozvinout do roviny jako obdélník o rozměrech v a 2\pi \cdot r (výška válce a obvod jeho podstavy). Povrch válce je roven: V = 2\pi \cdot r^2 + 2\pi \cdot r \cdot v = 2\pi r (r+v)

Objem válce s poloměrem podstavy r a výškou v spočítáme jako: V=\pi \cdot r^2 \cdot v

Platí V=S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy válce. Podstava válce má tvar kruhu s poloměrem r, takže máme: S_p = \pi \cdot r^2

Povrch válce s poloměrem podstavy r a výškou v spočítáme jako: S = 2\pi r \cdot(r + v)

Platí S=2S_p + S_{pl}, kde S_p je obsah podstavy válce a S_{pl} obsah pláště válce. Podstava válce má tvar kruhu s poloměrem r a plášť válce je obdélník o stranách v a 2\pi r. Celkem máme:

• Obsah podstavy: S_p = \pi \cdot r^2
• Obsah pláště: S_{pl}=2\pi r \cdot v
• Povrch válce: S=2\pi r \cdot (r + v)

Koule je prostorový geometrický útvar, který má tvar dokonale kulatého tělesa. Všechny body na povrchu koule jsou stejně daleko od středu, tato vzdálenost se nazývá poloměr koule. Koule je symetrická ve všech směrech, což znamená, že nezáleží na tom, jak ji otočíme, její tvar zůstane stejný.

Příklady koule v běžném životě zahrnují basketbalový míč, zeměkouli nebo kuličku z ložiska.

Pro výpočet objemu koule používáme vzorec V = \frac{4}{3} \pi r^3, kde r je poloměr koule.

Povrch koule se vypočítá pomocí vzorce S = 4 \pi r^2, kde opět r značí poloměr koule.

Koule nemá rohy ani hrany, což ji odlišuje od mnoha jiných geometrických útvarů. Tato jedinečná vlastnost dává kouli významnou roli v různých oblastech, včetně fyziky, kde se používá například pro modelování ideálních těles v teorii gravitace. Předmětem studia v neeuklidovské geometrii mohou zase být útvary, které nejsou částí roviny, ale kulové plochy (pak jde o sférickou geometrii, neboli geometrii na sféře).

Objem koule s poloměrem r spočítáme takto: V=\frac{4}{3} \pi \cdot r^3

Povrch koule s poloměrem r spočítáme takto: S=4 \pi \cdot r^2

Kužel je prostorový geometrický útvar s kruhovou podstavou. Zužuje se směrem k jednomu bodu zvanému vrchol. Jde o útvar, který vznikne, když se kolem své osy otáčí rovnoramenný trojúhelník. Příkladem kuželu v běžném životě je kornout zmrzliny nebo dopravní kužel. 

Vzorce pro objem a povrch

Objem kuželu lze vypočítat pomocí vzorce: V = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot v, kde r je poloměr podstavy a v je výška kuželu, což je vzdálenost vrcholu od roviny, ve které leží podstava kuželu.

Povrch kuželu získáme sečtením obsahu základny a obsahu pláště S = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r s, kde s je tzv. strana kuželu, což je délka úsečky spojující vrchol kuželu s okrajem jeho základny.

Kuželosečky

Křivky, které vznikají průnikem kuželového povrchu s rovinou se nazývají kuželosečky. Patří mezi ně například kružnice, elipsa, parabola a hyperbola.

Objem kužele s poloměrem podstavy r a výškou v spočítáme jako: V=\frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot v

Pro kužel platí V=\frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy válce. Podstava válce má tvar kruhu s poloměrem r, takže máme: S_p = \pi \cdot r^2

Oproti válci se stejnou výškou a poloměrem podstavy má kužel třikrát menší objem.

Může se stát, že známe poloměr r podstavy kužele a jeho výšku v, ale nemáme zadanou jeho stranu s. Potom si stranu můžeme dopočítat jako přeponu pravoúhlého trojúhelníka s odvěsnami o délkách v a r. Platí: s=\sqrt{v^2+r^2}

• Obsah podstavy kužele: \pi r^2
• Obsah pláště kužele: \frac{1}{2} \cdot 2 \pi r \cdot s = \pi r s

Obvod značíme o. Obvod je součet délek čar, které útvar vymezují. Se základním porozuměním tomu, co obvod vyjadřuje, pomůže téma délka a obvod na mřížce. Obvod se měří v jednotkách délky (např. centimetr, metr).

Obsah značíme S. Obsah vyjadřuje, kolik „místa v rovině“ útvar zaujímá. Se základním porozuměním tomu, co obsah vyjadřuje, pomůže téma obsah na mřížce. Obsah se měří v jednotkách obsahu (např. metr čtvereční, hektar).

Přehled vzorců pro obsah a obvod základních geometrických útvarů:

Přehled vzorců je dispozici také jako Obsah a obvod: pomůcka k vytištění.

Obvod trojúhelníku spočítáme jako součet délek jeho stran: o=a+b+c

Příklad:

Trojúhelník na obrázku má délky stran a=10, b=8, c=14, takže jeho obvod je o=a+b+c=10+8+14=32.

Obvod čtverce o straně délky a je o=a+ a+a+a= 4a.

Obvod obdélníku se stranami o délkách a,b je roven o=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Obvod rovnoběžníku se stranami o délkách a,b je roven S=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Obvod lichoběžníku je součet délek jeho stran. Tedy obvod lichoběžníku ABCD se stranami o délkách a,b,c,d vypočítáme podle vzorečku o=a+b+c+d.

Vzorec pro obvod kruhu

Obvod kruhu (i kružnice) o poloměru r je o=2\pi r. Pro průměr d platí o = \pi d.

Konstanta \pi se nazývá též Ludolfovo číslo. \pi je iracionální číslo, což znamená, že nejde vyjádřit zlomkem ani zapsat přesně v desítkové soustavě. Přibližná hodnota \pi je 3,141 592 65.

Při výpočtu obvodu kruhu dáváme dobrý pozor na to, zda vycházíme ze znalosti poloměru nebo průměru. Záměna průměru za poloměr je častou chybou.

Intuice

Základní intuici za vzorcem pro výpočet obvodu kruhu přibližuje níže uvedený obrázek. Obvod oranžového čtverce je 8\cdot r. Obvod kruhu je „o trochu menší“ – je to 2\pi \cdot r \approx 6{,}3 \cdot r.

Příklady

• Mějme kruh o poloměru 3 cm. Jeho obvod je 2\pi \cdot 3 \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 \approx 18{,}8 cm.
• Kružnice o průměru 2 cm má délku \pi \cdot 2 \approx 6,3 cm.
• Středový kruh na fotbalovém hřišti má poloměr 9{,}1 metru. Pokud jej chceme obejít po jeho okrajové čáře, ujdeme 2 \pi \cdot 9{,}1 \approx 57 metrů.

Délku oblouku, který na kružnici o poloměru r odpovídá středovému úhlu \alpha spočítáme jako: \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi \cdot r

Příklad – délka oblouku odpovídajícího 90^{\circ}

Délka oblouku na obrázku je:

\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{1}{4} \cdot 6 \pi = \frac{3}{2}\pi

Jedná se o čtvrtinu délky kružnice.

Obvod u trojúhelníků a čtyřúhelníků je prostě součet délek jejich stran.

Obsah trojúhelníku spočítáme jako součin délky libovolné strany trojúhelníka a výšky příslušné k této straně, takže: S_{\triangle} = \frac12 \cdot a \cdot v_a = \frac12 \cdot b \cdot v_b = \frac12 \cdot c \cdot v_c

Což si můžeme představit jako polovinu obsahu obdélníku, ve kterém je náš trojúhelník takto vepsán:

Příklady k obsahu:

• Trojúhelník ABC: Délka strany \left| AB \right| je 2. Velikost k ní příslušné výšky v_c je 3. Obsah trojúhelníku ABC je roven \frac12 \cdot 2 \cdot 3 = 3.
• Trojúhelník DEF: Nevadí nám, že trojúhelník na náčrtku vypadá zvláštně natočený. Známe délku strany \left| DE \right|, což je 3. Velikost k ní příslušné výšky v_f je 4. Obsah trojúhelníku DEF je roven \frac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6.

• Trojúhelník GHI: Nevadí nám ani když je pata kolmice, na které leží výška, mimo stranu trojúhelníka. Délka strany \left| GH \right| je 1. Velikost k ní příslušné výšky v_i je 2. Obsah trojúhelníku GHI je \frac12 \cdot 2 \cdot 1 = 1.
• Trojúhelník JKL: S pravoúhlým trojúhelníkem si také poradíme. Délka strany \left| JK \right| je 4. Velikost k ní příslušné výšky v_l je 3 (a je to zároveň i délka strany KL našeho trojúhelníku). Obsah trojúhelníku JKL je \frac12 \cdot 4 \cdot 3 = 6.

Obsah čtverce o straně délky a je S=a\cdot a=a^2.

Obsah obdélníku se stranami o délkách a,b je roven S=a\cdot b.

Obsah rovnoběžníku ve kterém ke straně o délce a přísluší výška v_a spočítáme jako S= a\cdot v_a.

Obsah lichoběžníku se základnami o délkách a,c a výškou v spočítáme podle vzorečku S=\frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot v.

Intuice za tímto vzorečkem je vidět na následujícím obrázku. Obsah lichoběžníku je roven součtu obsahů dvou trojúhelníků.

• První trojúhelník má výšku v příslušnou ke straně délky a. Jeho obsah je S_{ABC}=\frac{1}{2} \cdot a \cdot v.
• Druhý trojúhelník má výšku v příslušnou ke straně délky c. Jeho obsah je S_{ACD}=\frac{1}{2} \cdot c \cdot v.

Součet obsahů těchto dvou trojúhelníků je S = S_{ABC} + S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot v + \frac{1}{2} \cdot c \cdot v = \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot v

Vzorec pro obsah kruhu

Obsah kruhu o poloměru r je S=\pi r^2. Pro průměr d platí S = \frac{1}{4} \pi d^2.

Konstanta \pi se nazývá též Ludolfovo číslo. \pi je iracionální číslo, což znamená, že nejde vyjádřit zlomkem ani zapsat přesně v desítkové soustavě. Přibližná hodnota \pi je 3,141 592 65.

Při výpočtu obsahu kruhu dáváme dobrý pozor na to, zda vycházíme ze znalosti poloměru nebo průměru. Záměna průměru za poloměr je častou chybou.

Intuice

Základní intuici za vzorcem pro výpočet obsahu kruhu přibližuje níže uvedený obrázek. Žluté čtverce mají obsah r^2. Oranžový čtverec se skládá ze čtyř žlutých čtverců, takže má obsah 4\cdot r^2. Kruh má „o trochu menší“ obsah než oranžový čtverec, což odpovídá tomu, že obsah kruhu je přibližně 3{,}14 \cdot r^2.

Příklady

• Mějme kruh o poloměru 3 cm. Jeho obsah je \pi \cdot 3^2 \approx 3{,}14\cdot 9 \approx 28,3 cm².
• Uvažujme kružnici o průměru 2 cm. Její vnitřní oblast má obsah \frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \pi \approx 3,14 cm².
• Středový kruh na fotbalovém hřišti má poloměr 9{,}1 metru. Pokud bychom chtěli veškerou trávu v kruhu nabarvit na růžovo, museli bychom nabarvit \pi \cdot 9{,}1^2 \approx 260 m² trávy.

Obsah kruhové výseče

Obsah kruhové výseče se středovým úhlem \alpha a poloměrem r spočítáme jako: \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot r^2

Příklady

• Kruhová výseč na obrázku má obsah: \frac{150^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot 3^2 = \frac{5}{12} \cdot \pi \cdot 9 = \frac{15}{4} \pi

• Obsah celého kruhu (výseče se středovým úhlem 360^{\circ}) je: \frac{360^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot r^2 = \pi \cdot r^2

Objem tělesa vyjadřuje kolik místa v prostoru těleso zaujímá. Můžeme si jej představit jako množství vody, které bychom potřebovali, kdybychom chtěli těleso „napustit“. Pro vyjádření objemu využíváme jednotky objemu.

Povrch tělesa je součet obsahů všech ploch, které těleso ohraničují. Můžeme si jej představit jako velikost barevného papíru, který potřebujeme na „polepení“ tělesa. Pro vyjádření povrchu využíváme jednotky obsahu.

Značení ve vzorcích

Vzorce

Objem kvádru s délkami hran a,b,c je: V=a\cdot b\cdot c

Objem krychle s délkou hrany podstavy a spočítáme stejným způsobem, jako objem kvádru s a=b=c, tedy: V=a\cdot a\cdot a=a^3

Objem hranolu, který má podstavu o obsahu S_p a výšku v, spočítáme jako V=S_p \cdot v.

Objem jehlanu, který má podstavu o obsahu S_p a výšku v, spočítáme jako V=\frac{1}{3} S_p \cdot v.

Oproti hranolu se stejnou výškou a tvarem podstavy má jehlan třikrát menší objem.

Vzorce pro objem „hranatých“ těles vychází z obsahu podstavy a výšky tělesa.

Objem libovolného hranolu je součin obsahu podstavy a výšky: V=S_p\cdot v.

Kvádr a krychle jsou speciální případy hranolu, jejich podstava je obdélník (čtverec) a výška je zbývající hrana. Objem kvádru je tedy součin délek jeho hran: V = abc. Objem krychle vypočítáme stejným způsobem. Protože v krychli jsou všechny hrany stejně dlouhé, výraz se zjednoduší na V = a^3.

Objem jehlanu je jedna třetina součinu obsahu podstavy a výšky, tj. V=\frac{1}{3}S_p\cdot v. Pro pravidelný čtyřboký jehlan pak tedy V=\frac{1}{3} a^2v.

Objem válce s poloměrem podstavy r a výškou v spočítáme jako: V=\pi \cdot r^2 \cdot v

Platí V=S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy válce. Podstava válce má tvar kruhu s poloměrem r, takže máme: S_p = \pi \cdot r^2

Objem kužele s poloměrem podstavy r a výškou v spočítáme jako: V=\frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot v

Pro kužel platí V=\frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy válce. Podstava válce má tvar kruhu s poloměrem r, takže máme: S_p = \pi \cdot r^2

Oproti válci se stejnou výškou a poloměrem podstavy má kužel třikrát menší objem.

Objem koule s poloměrem r spočítáme takto: V=\frac{4}{3} \pi \cdot r^3

Objem „kulatých“ těles vypočítáme za využití konstanty \pi \approx 3{,}14 159 265. Ve vzorcích označuje r poloměr (koule či podstavy) a v výšku válce.

• Objem koule je V = \frac43 \pi r^3.
• Objem válce je obsah (kruhové) podstavy vynásobený výškou, tedy V = S_p \cdot v = \pi r^2 v.
• Objem kužele je jedna třetina obsahu podstavy vynásobeného výškou, tedy V = \frac13 S_p \cdot v = \frac13 \pi r^2 v.

Povrch kvádru s délkami hran a,b,c spočítáme jako součet obsahů všech jeho stěn. Tedy: S=2 (a\cdot b + a\cdot c + b \cdot c)

Povrch krychle s délkou hrany podstavy a spočítáme stejným způsobem, jako objem kvádru s a=b=c, tedy šestkrát obsah jedné čtvercové stěny krychle: S = 6\cdot a\cdot a = 6a^2

Povrch hranolu, který má podstavu o obsahu S_p plášť o obsahu S_{pl}, spočítáme jako S=2S_p + S_{pl}. Plášť hranolu je tvořen všemi jeho stěnami kromě dvou podstav.

Povrch pravidelného n‑bokého hranolu, který má dvě podstavy ve tvaru pravidelných n‑úhelníků a potom n stejných obdélníkových stěn (obsah jedné označme S_1), spočítáme takto: S=2S_p + n\cdot S_1

Povrch jehlanu spočítáme jako součet obsahu jeho podstavy S_p a obsahu jeho pláště S_{pl}. Obsah pláště spočítáme jako součet obsahů stěn jehlanu, které tvoří plášť (tj. všechny stěny jehlanu kromě jeho podstavy).

Povrch pravidelného n‑bokého jehlanu, který má podstavu ve tvaru pravidelného n‑úhelníka a potom n stejných trojúhelníkových stěn (obsah jedné označme S_1), spočítáme takto: S= S_p + n\cdot S_1

Povrch „hranatých“ těles je prostě součet obsahů jednotlivých stran.

Hranol má dvě stejné podstavy a plášť, povrch je tedy S=2\cdot S_p+S_{pl}. Jehlan má jednu podstavu a plášť, povrch je tedy S=S_p+S_{pl}.

Stěny kvádru jsou obdélníky, přičemž vždy dvě jsou stejně velké. Povrch tedy vypočítáme jako S = 2(ab+ac+bc).

Krychle má šest stěn a všechny jsou tvořeny stejným čtvercem. Povrch je S=6a^2.

Povrch válce s poloměrem podstavy r a výškou v spočítáme jako: S = 2\pi r \cdot(r + v)

Platí S=2S_p + S_{pl}, kde S_p je obsah podstavy válce a S_{pl} obsah pláště válce. Podstava válce má tvar kruhu s poloměrem r a plášť válce je obdélník o stranách v a 2\pi r. Celkem máme:

• Obsah podstavy: S_p = \pi \cdot r^2
• Obsah pláště: S_{pl}=2\pi r \cdot v
• Povrch válce: S=2\pi r \cdot (r + v)

Může se stát, že známe poloměr r podstavy kužele a jeho výšku v, ale nemáme zadanou jeho stranu s. Potom si stranu můžeme dopočítat jako přeponu pravoúhlého trojúhelníka s odvěsnami o délkách v a r. Platí: s=\sqrt{v^2+r^2}

• Obsah podstavy kužele: \pi r^2
• Obsah pláště kužele: \frac{1}{2} \cdot 2 \pi r \cdot s = \pi r s

Povrch koule s poloměrem r spočítáme takto: S=4 \pi \cdot r^2

Povrch „kulatých“ těles vypočítáme za využití konstanty \pi \approx 3{,}14 159 265. Ve vzorcích označuje r poloměr (koule či podstavy), v výšku válce, s stranu kužele.

• Povrch koule je S = 4\pi r^2.
• Povrch válce se skládá z podstavy (dvakrát) a pláště: S = 2\cdot \pi r^2 + 2\pi r v = 2\pi r (r+v).
• Povrch kužele se skládá z podstavy a pláště: S = \pi r^2 + \pi rs= \pi r(r+s).

Úhel je část roviny vymezená dvěma polopřímkami. Velikost úhlu měříme nejčastěji ve stupních, přičemž plný úhel má velikost 360°. Úhly využíváme v mnoha oblastech geometrie a mají bohaté praktické využití ve fyzice, navigaci (azimuty) a v podstatě kdekoliv, kde se něco staví.

Při práci s úhly je první krok základní poznávání úhlů – potřebujeme získat základní představu o úhlech a schopnost odhadnout velikost úhlu podle obrázku. Další krok je pak znalost pojmů souvisejících s úhly, mezi které patří třeba úhel ostrý, tupý, pravý, plný, vrcholový či střídavý.

Jakmile zvládneme základy práce s úhly, můžeme se pustit do práce s úhly v rovinných objektech:

• Úhly v trojúhelníku
• Úhly ve čtyřúhelníku
• Úhly a mnohoúhelníky
• Úhly a kružnice

Pokročilejší téma pak jsou radiány, což je alternativní vyjadřování velikosti úhlů, které se často používá ve spojitosti s goniometrickými funkcemi.

Plný úhel je 360°. Často používané úhly ukazuje obrázek:

Při výpočtu velikosti neznámého úhlu v trojúhelníku využíváme základní vlastnosti, že součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°.

Speciální případy:

• V rovnostranném trojúhelníku mají všechny vnitřní úhly velikost 60°.
• V rovnoramenném trojúhelníku jsou oba úhly u základny stejné.
• V pravoúhlém trojúhelníku je velikost jednoho úhlu 90°, součet velikostí zbývajících dvou úhlů je také 90°.

Při výpočtu lze využít i vrcholových a vedlejších úhlů.

Příklad: Určete velikost oranžového úhlu.

Úhel u vrcholu B tvoří s úhlem o velikosti 30° dvojici vrcholových úhlů. Jeho velikost je tedy 30°. Úhel u vrcholu A tvoří s úhlem o velikosti 100° dvojici vedlejších úhlů. Jeho velikost je tedy 180°-100°=80°. Pro velikost neznámého úhlu u vrcholu C pak platí: 180°-80°-30°=70°

Čtverec, obdélník

• Ve čtverci i obdélníku je velikost všech vnitřních úhlů 90°.
• Ve čtverci svírají úhlopříčky úhel o velikosti 90°.

Rovnoběžník

• Protější úhly mají stejnou velikost.
• Součet velikostí sousedních úhlů je 180°.
• Speciálním případem rovnoběžníku je kosočtverec, jehož úhlopříčky svírají pravý úhel.

Lichoběžník

• Součet velikostí vnitřních úhlů u ramen je 180°.
• V rovnoramenném lichoběžníku jsou úhly u základen shodné.

Při výpočtu neznámého úhlu můžeme také daný čtyřúhelník rozdělit na několik trojúhelníků a lze využít i vrcholových a vedlejších úhlů.

Příklad: Určete velikost oranžového úhlu v rovnoběžníku ABCD.

V rovnoběžníku mají protější úhly stejnou velikost, úhel ADC má tedy velikost 115°. Úhel ADC tvoří s neznámým úhlem dvojici vedlejších úhlů. Velikost neznámého úhlu je tedy 180°-115°=65°.

Součet vnitřních úhlů v obecném mnohoúhelníku s n stranami (tedy n-úhelníku) je 180^\circ\cdot(n-2). Například v pětiúhelníku je součet vnitřních úhlů 180^\circ(5-2)=540^\circ. Každý vnitřní úhel pak může mít jinou velikost.

Pravidelné mnohoúhelníky

• Každý vnitřní úhel v pravidelném mnohoúhelníku s n vrcholy má velikost 180^\circ\cdot\frac{n-2}{n}. Například v pravidelném osmiúhelníku má každý vnitřní úhel velikost 180^\circ\cdot\frac{8-2}{6}=135^\circ.
• Velikost středového úhlu pravidelného n-úhelníku je \frac{360^\circ}{n}. Například v pravidelném osmiúhelníku má každý středový úhel velikost \frac{360^\circ}{8}=45^\circ.

Při výpočtu neznámého úhlu v mnohoúhelníku lze využít i vrcholových a vedlejších úhlů.

Příklad: Určete velikost oranžového úhlu v pravidelném šestiúhelníku ABCDEF.

V pravidelném šestiúhelníku má každý úhel stejnou velikost, a to 180^\circ\cdot\frac{6-2}{6}=120^\circ. Úhel ABC má tedy velikost 120^\circ. Trojúhelník ABC je rovnoramenný, úhly u vrcholů A a C jsou pak shodné. Jejich velikost je (180^\circ-120^\circ):2=30^\circ.

Středový úhel

• Úhel s vrcholem ve středu S kružnice k, jehož ramena procházejí krajními body A, B oblouku kružnice k.
• Pro každé dva body na kružnici lze určit dva středové úhly. Každý přísluší tomu oblouku, který v daném úhlu leží.

Obvodový úhel

• Úhel, jehož vrchol V leží na kružnici k a jeho ramena procházejí body A, B oblouku kružnice k (A \neq V \neq B)
• Všechny obvodové úhly příslušné oblouku AB s vrcholem V, který na oblouku neleží, mají stejnou velikost.
• Velikost středového úhlu \omega se rovná dvojnásobku velikosti obvodového úhlu \varphi příslušného ke stejnému oblouku, \omega = 2\cdot\varphi.
• Thaletova věta: Obvodový úhel nad průměrem kružnice je pravý.

Úsekový úhel

• Úhel, jenž svírá tětiva AB kružnice k s tečnou t kružnice v bodě A nebo B.
• Velikost úsekového úhlu je stejná jako velikost obvodového úhlu nad obloukem AB.

Příklad 1: Určete velikost oranžového úhlu.

Úhel o velikosti 55^\circ je úsekový úhel příslušný tětivě AB. Víme, že velikost úsekového a příslušného obvodového úhlu jsou stejné, tedy 55^\circ. Neznámý úhel je středový úhel příslušný menšímu oblouku AB. Jeho velikost je dvojnásobkem velikosti obvodového úhlu, tedy 2\cdot55^\circ=110^\circ.

Příklad 2: Určete velikost oranžového úhlu.

Neznámý úhel je obvodovým úhlem nad menším obloukem s koncovými body 2 a 7. Určíme velikost příslušného středového úhlu. Z kapitoly úhly a mnohoúhelníky víme, že velikost středového úhlu pravidelného n-úhelníku je \frac{360^\circ}{n}. Pro pravidelný dvanáctiúhelník je tedy úhel mezi spojnicemi dvou vedlejších vrcholů a středu \frac{360^\circ}{12}=30^\circ. Středový úhel příslušný oblouku 2 a 7 je pak 5\cdot30^\circ=150^\circ. Hledaný obvodový úhel má poloviční velikost, tedy 150^\circ:2=75^\circ.

Konstrukční úlohou rozumíme úlohu, ve které chceme sestrojit určitý geometrický útvar (alespoň jeden, případně všechny) splňující dané podmínky. Jinými slovy, pomocí pravítka, kružítka a případně i úhloměru sestrojíme geometrický útvar (trojúhelník, obdélník atd.), pro který známe délky jeho stran, velikosti úhlů či jiné vlastnosti.

Před rýsováním je dobré si ujasnit:

• body značíme velkými písmeny, např bod A
• přímky značíme malými písmeny, např. přímka p

Obvyklé kroky řešení konstrukční úlohy

Náčrtek: Od ruky si nakreslíme obrázek hledaného útvaru se vším, co známe ze zadání. To nám pomůže představit si výsledek. Pro přehlednost můžeme jednotlivé prvky vyznačit barevně. Nezapomeňte, náčrtky děláme velké a přehledné. V obrázku velkém jako blecha nic neuvidíme.

Popis konstrukce: Popis jednotlivých kroků, které musíme udělat, abychom dospěli k výsledku. Popis píšeme proto, aby každý mohl náš postup zopakovat. Z výsledného obrázku to nejde vždy snadno udělat. Pro zápis konstrukce používáme geometrické značení. Popis konstrukce řešíme obvykle až ve vyšších ročnících.

Konstrukce: Jde o samotné rýsování příkladu.

Zkouška správnosti: Měli bychom ověřit, jestli obrázek opravdu splňuje všechny podmínky ze zadání.

Počet řešení (diskuse): Zjistíme počet výsledků, které vyhovují zadání úlohy. Ne vždy musíme všechny výsledky narýsovat.

Dále využíváme pro zápis geometrických konstrukcí množinové operace, především průnik (\cap) a sjednocení (\cup).

Polopřímka je část přímky, která vznikne rozdělením přímky jedním jejím bodem. Tento bod se nazývá počáteční. Polopřímku s počátečním bodem A procházející bodem B značíme \mapsto AB. Každý bod rozděluje přímku na dvě opačné polopřímky se společným počátečním bodem.

Základní vlastnosti polopřímek:

• Sjednocením dvou opačných polopřímek je přímka.
• Průnikem dvou opačných polopřímek je bod.
• Průnikem polopřímek \mapsto AB a \mapsto BA je úsečka AB.

Polorovina je část roviny, která vznikne rozdělením roviny jednou přímkou. Tato přímka se nazývá hraniční. Polorovinu s hraniční přímkou p procházející bodem K značíme \mapsto pK. Je-li přímka p určena body A, B, můžeme také psát \mapsto ABK. Každá přímka rozděluje rovinu na dvě opačné poloroviny se společnou hraniční přímkou.

Základní vlastnosti polorovin:

• Sjednocením dvou opačných polorovin je rovina.
• Průnikem dvou opačných polorovin je hraniční přímka.
• Průnikem dvou polorovin s rovnoběžnými hraničními přímkami je pás rovnoběžek.

Pro zápis geometrických konstrukcí používáme množinové operace, především průnik (\cap) a sjednocení (\cup).

Příklad: Rozhodněte, co je průnikem polopřímky CA a poloroviny ABC.

Polorovina ABC je určena hraniční přímkou AB a bodem C. Polopřímka CA má počáteční bod C a prochází bodem A. Průnikem je pak úsečka AC. Matematicky bychom úlohu zapsali: AC = \mapsto ABC \cap \mapsto CA.

Rovnoběžky jsou dvě přímky ležící ve stejné rovině, které se nikde neprotínají. Rovnoběžnost přímek p a q zapisujeme p \parallel q.

Kolmice je přímka, která protíná jinou přímku a svírá s ní úhel 90°. Kolmost přímek p a q zapisujeme p \perp q.

Dvě přímky, které jsou kolmé na nějakou třetí přímku a současně obě leží v jedné rovině, jsou rovnoběžky.

Při řešení jednodušších úloh provádíme konstrukce trojúhelníků se známými délkami stran. Nesmíme přitom zapomínat, že platí tzv. trojúhelníková nerovnost, tedy že součet dvou stran je větší než třetí strana. Jednoduše řečeno, jedině pokud je součet dvou nejkratších stran větší než třetí strana, trojúhelník lze sestrojit.

Občas má některý trojúhelník zajímavou vlastnost, která nám pomůže odvodit si potřebné informace k jeho konstrukci — může být např. rovnoramenný nebo rovnostranný.

Při řešení složitějších příkladů využíváme věty o sestrojitelnosti trojúhelníků.

U nejtěžších příkladů využíváme při konstrukci další pojmy související s trojúhelníkem, například výška, těžnice, či množiny bodů daných vlastností.

Při konstrukci trojúhelníků můžeme každou stranu označit dvěma způsoby:

• přímo – strana a
• pomocí vrcholů – strana BC

Při konstrukcích také můžeme zaměňovat označení strany a její délky. Můžeme psát a=|BC|. Je třeba myslet i na pravidlo, že strana je pojmenovaná podle protějšího vrcholu.

Při konstrukcích trojúhelníků, u kterých známe tři strany, postupujeme tak, že sestrojíme jako první libovolnou stranu, na obrázku například AB. K nalezení posledního vrcholu C použijeme dvě kružnice nebo jejich části. Výsledkem konstrukce jsou dva shodné (stejné) trojúhelníky, proto stačí sestrojit jen jeden.

Při konstrukci rovnoramenného trojúhelníku využíváme jeho základní vlastnosti:

• Má dvě strany (ramena) shodné. Vrchol proti základně tedy leží na ose základny.
• Shodné (stejně velké) jsou i vnitřní úhly při základně.
• Výška kolmá na základnu leží na ose základny a dělí rovnoramenný trojúhelník na dva shodné trojúhelníky.

Rovnostranný trojúhelník můžeme chápat jako speciální případ rovnoramenného trojúhelníka. Má všechny strany stejně dlouhé a velikost všech jeho vnitřních úhlů je 60°.

Při složitějších příkladech využíváme věty o sestrojitelnosti trojúhelníků (kde s značí stranu a u úhel):

• Věta sss — v trojúhelníku jsou dány délky všech stran, pro které platí trojúhelníková nerovnost.
• Věta sus— v trojúhelníku jsou dány délky dvou stran a velikost úhlu, který svírají (menší než 180°).
• Věta usu — v trojúhelníku je dána délka jedné strany a velikosti 2 úhly k ní přiléhající (součet velikostí daných úhlů je menší než 180°).
• Věta Ssu — známe velikosti dvou stran trojúhelníka a velikost úhlu proti větší z těchto stran (velikost zadaného úhlu je menší než 180°).

Tyto věty také používáme při určení shodnosti trojúhelníků.

Při řešení složitějších příkladů použijeme další pojmy související s trojúhelníkem, například výška, těžnice, střední příčka, kružnice opsaná či vepsaná.

Těžnice je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a jejich průsečík tvoří těžiště trojúhelníku. Těžiště rozděluje každou těžnici v poměru 2 : 1. Delší část těžnice je úsečka mezi vrcholem a těžištěm.

Střední příčka trojúhelníku je úsečka, která spojuje středy 2 stran v trojúhelníku. Je rovnoběžná se stranou, jejíž střed nespojuje a její délka je rovna polovině délky této strany.

Kružnice opsaná je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Její střed leží v průsečíku os stran. To znamená, že střed kružnice opsané je stejně vzdálen od všech vrcholů trojúhelníku.

Kružnice vepsaná je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. Její střed leží v průsečíku os vnitřních úhlů trojúhelníku. To znamená, že střed kružnice vepsané je stejně vzdálen od všech tří přímek, na kterých leží strany trojúhelníku.

Při řešení složitějších konstrukčních úloh budeme využívat i množiny bodů daných vlastností. Připomeňme si ty nejdůležitější.

Základní intuitivní představa pro jednotlivé operace a vlastnosti:

• Osová souměrnost – děláme „zrcadlový“ obraz útvaru podle přímky
• Středová souměrnost – překlápíme útvar podle bodu
• Otočení – otočíme útvar okolo určitého bodu o nějaký úhel
• Shodnost – dva útvary jsou shodné, pokud „mají stejný tvar a velikost“ (mohou se lišit natočením a umístěním)
• Podobnost – dva útvary jsou podobné, pokud „mají stejný tvar“ (mohou se lišit velikostí, natočením a umístěním)

Podtéma určení zobrazení v rovině se pak zabývá rozlišováním mezi jednotlivými zobrazeními.

Osová souměrnost je dána přímkou o a přiřazuje každému bodu X mimo osu takový bod X', že přímka o je osou úsečky XX'. Jinými slovy: obraz má od osy stejnou vzdálenost jako původní bod a spojnice bodů je kolmá na osu. Osová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jde tedy o druh shodnosti.

Příklady

Modré a oranžové útvary jsou vzájemně osově souměrné podle osy o:

Pro lepší pochopení může být užitečné porovnat osovou a středovou souměrnost.

Osově souměrný útvar

Útvar označujeme za osově souměrný, pokud je v nějaké osové souměrnosti obrazem sebe sama. Osu této souměrnosti pak nazýváme osou útvaru. Obrázek uvádí příklady útvarů osově souměrných (zelené, s vyznačenými osami souměrnosti) i těch nesouměrných (červené):

Další příklady:

• Úsečka je osově souměrná a má v rovině jedinou osu souměrnosti (kolmici v jejím středu).
• Rovnoramenný trojúhelník je osově souměrný.
• Trojúhelník, který není rovnoramenný, není osově souměrný.
• Všechny pravidelné mnohoúhelníky jsou osově souměrné. Počet os souměrnosti je roven počtu vrcholů mnohoúhelníku.
• Kruh je osově souměrný a má nekonečně mnoho os souměrnosti.

Středová souměrnost je dána bodem S a přiřazuje každému bodu X takový bod X', že bod S je středem úsečky XX'. Jinými slovy: obraz má od středu stejnou vzdálenost jako původní bod a leží na polopřímce opačné k SX.

Středová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jde tedy o druh shodnosti. Středová souměrnost se středem v bodě S je shodná s otočením o 180 stupňů podle středu S.

Příklady

Modré a oranžové útvary jsou vzájemně středově souměrné podle středu S:

Pro lepší pochopení může být užitečné porovnat středovou a osovou souměrnost.

Středově souměrný útvar

Útvar označujeme za středově souměrný, pokud je v nějaké středové souměrnosti obrazem sebe sama. Střed této středové souměrnosti pak nazýváme středem souměrnosti objektu. Obrázek uvádí příklady útvarů středově souměrných (zelené, s vyznačeným středem souměrnosti) i těch nesouměrných (červené):

Další příklady:

• Úsečka, obdélník, čtverec, kosočtverec, pravidelný šestiúhelník a kruh jsou středově souměrné.

• Žádný trojúhelník není středově souměrný.

Otočení (rotace) je dané bodem S a orientovaným úhlem \alpha. Bod S se nazývá střed otočení. Pojem orientovaný úhel znamená, že rozlišujeme, zda otáčíme proti směru hodinových ručiček (kladný směr) nebo po směru hodinových ručiček (záporný směr). Obrazem bodu X je bod X', který má stejnou vzdálenost od středu S jako bod X a úhel XSX' má velikost \alpha.

Příklady

Bod X je otočený kolem středu S o 90^\circ proti směru hodinových ručiček.

Bod Y je otočený kolem středu S o 90^\circ ve směru hodinových ručiček, tedy o úhel \alpha=-90^\circ.

Trojúhelník ABC je otočený kolem středu S o 60^\circ ve směru hodinových ručiček, tedy o úhel \alpha=-60^\circ.

Otočení zachovává vzdálenosti i úhly, jde tedy o druh shodnosti.

Dva geometrické útvary jsou si podobné, pokud oba mají stejný tvar (bez ohledu na velikost). Na následujícím obrázku mají podobné útvary stejnou barvu:

Přesněji řečeno, útvary jsou podobné, pokud jeden můžeme získat z druhého kombinací rovnoměrného zmenšení či zvětšení a následným posunutím, otočením nebo překlopením.

Podobnost zachovává velikost úhlů a poměr délek.

Poměr délek odpovídajících úseček v obou útvarech se nazývá koeficient podobnosti.

Analytická geometrie nám dovoluje zapsat geometrické problémy algebraicky a vyřešit je pomocí rovnic.

Nejjednodušší objekty popsatelné analyticky jsou body, úsečky a vektory v rovině nebo v prostoru. Když už umíme manipulovat s vektory, můžeme je použít například k popisu přímky nebo roviny.

V případě přímek a rovin se pořád ještě jedná o objekty popsatelné lineárními rovnicemi nebo soustavami lineárních rovnic. Pokud se začneme zabývat i kvadratickými rovnicemi, dokážeme popsat i kuželosečky v rovině, například kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu.

Dva významné typy problémů, které řešíme v rámci analytické geometrie jsou polohové úlohy, ve kterých vyšetřujeme vzájemnou polohu geometrických objektů, a metrické úlohy, ve kterých počítáme konkrétní číselnou hodnotu výsledku, jako je např. vzdálenost dvou bodů nebo úhel svíraný dvěma protínajícími se přímkami.

Uvažujeme‑li body v rovině nebo v prostoru, kde máme zavedenou kartézskou soustavu souřadnic (v rovině se dvěma osami x,y nebo v prostoru se třemi osami x,y,z), můžeme body popsat číselně souřadnicemi v rovině, případně souřadnicemi v prostoru.

Pomocí souřadnic pak umíme spočítat vzdálenost dvou bodů „vzdušnou čarou“ – délku úsečky v rovině, případně v prostoru.

Souřadnice bodů většinou zapisujeme pomocí kartézské soustavy souřadnic v rovině, která má jako osy dvě kolmé přímky. Vodorovná přímka se tradičně označuje x a souřadnice podél této osy se zapisuje první. Svislá přímka se tradičně označuje y a souřadnice podle této osy se zapisuje druhá. Přímky x, y se protínají v bodě [0;0].

Přímky x a y jsou souřadné osy, bod [0;0] je počátek soustavy souřadnic.

Příklad: Souřadnice bodu A

Bod A na obrázku je v dané soustavě souřadnic určen jako x=1, y=2, což můžeme zapsat jako A[1;2].

Další příklady souřadnic bodů

Kartézská soustava souřadnic v rovině je daná trojicí navzájem kolmých číselných os x,y,z, které se protínají v bodě [0;0;0].

Přímky x,y,z jsou souřadné osy v prostoru, bod [0;0;0] je počátek soustavy souřadnic.

Příklad: Souřadnice bodu A

Bod A na obrázku je v dané soustavě souřadnic určen jako x=4, y=2, z=3, což můžeme zapsat jako A[4;2;3].

Vzdálenost dvou bodů v rovině můžeme spočítat, když známe jejich souřadnice.

Jsou‑li dány souřadnice A=[a_x,a_y], B=[b_x,b_y], je vzdálenost bodu A od bodu B:

|AB| = \sqrt{(b_x-a_x)^2 + (b_y-a_y)^2}

Vzoreček vychází z Pythagorovy věty. Všimněme si pravoúhlého trojúhelníku s délkami odvěsen (b_x-a_x) a (b_y-a_y), jehož přepona má délku |AB|.

Vzdálenost dvou bodů v prostoru spočítáme podobně jako v rovině pomocí jejich souřadnic. Máme‑li souřadnice bodů A=[a_x,a_y,a_z], B=[b_x,b_y,b_z], můžeme jejich vzdálenost určit takto:

|AB| = \sqrt{(b_x-a_x)^2 + (b_y-a_y)^2 + (b_z-a_z)^2}

Podobným způsobem (dvakrát po sobě použijeme Pythagorovu větu) počítáme délku tělesové úhlopříčky kvádru.

Úsečka je část přímky mezi dvěma krajními body (včetně těchto bodů). Úsečka je v rovině i v prostoru jednoznačně zadaná svými krajními body.

Délku úsečky v prostoru spočítáme stejně jako vzdálenost bodů v prostoru.

Jsou‑li dány souřadnice A[x_A; y_A;z_A], B[x_B; y_B;z_B], je délka úsečky AB:

|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

Délku úsečky v rovině spočítáme stejně jako vzdálenost bodů v rovině.

Jsou‑li dány souřadnice A[x_A; y_A], B[x_B; y_B], je délka úsečky AB:

|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}

Vzoreček vychází z Pythagorovy věty.

Dvě úsečky v rovině mohou mít společné krajní body, pak říkáme, že jsou totožné. Pokud se úsečky protínají v jednom bodě, říkáme, že jsou různoběžné. Úsečky se také nemusí protínat, nemají tedy žádný společný bod. Speciálně mohou v tomto případě být rovnoběžné.

Podobně jako v rovině mohou mít dvě úsečky společné krajní body, pak říkáme, že jsou totožné. Pokud se úsečky protínají v jednom bodě, říkáme, že jsou různoběžné. Úsečky se také nemusí protínat, nemají tedy žádný společný bod. Speciálně mohou v tomto případě být rovnoběžné.

Tyto vzájemné polohy si dobře můžeme ilustrovat na krychli.

Střed úsečky dělí úsečku na dvě stejné části. Pokud leží krajní body úsečky AB na číselné ose a jejich polohám odpovídají hodnoty a a b, potom jejímu středu S odpovídá číslo s=\frac{a+b}{2}. Střed úsečky je „průměrem“ jejích krajních bodů.

Pro úsečku v rovině bude situace následující. Situace na obou souřadných osách je stejná jako předtím. Spočítáme obě souřadnice středu jako průměry odpovídajících souřadnic krajních bodů.

Pro střed S[s_1;s_2] úsečky AB, kde A[x_A; y_A], B[x_B; y_B] platí:

s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}

Střed úsečky v prostoru spočítáme podobně jako střed úsečky v rovině. Spočítáme všechny souřadnice středu jako průměry odpovídajících souřadnic krajních bodů.

Pro střed S[s_1;s_2;s_3] úsečky AB, kde A[x_A; y_A;z_A], B[x_B; y_B;z_B] platí:

s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2} , s_3 = \frac{z_A+z_B}{2}

Vektor je množina všech shodně orientovaných úseček, které mají stejnou délku. Každou z těchto úseček nazýváme umístěním vektoru.

Vektor je určený počátečním a koncovým bodem, graficky znázorňujeme se šipkou u koncového bodu, zapisujeme: \vec{u}=\overrightarrow{AB}

Na obrázku je A počáteční bod vektoru \vec{u}, B je koncový bod vektoru \vec{u}.

Opačné vektory jsou vektory, které mají stejnou délku a opačnou orientaci:

Kolineární vektory jsou vektory, které můžeme umístit na jednu přímku. Tedy nemusí mít stejnou délku, mohou mít stejnou nebo opačnou orientaci:

Kolmé vektory jsou vektory, které svírají pravý úhel:

Souřadnice vektoru jsou pravoúhlé průměty vektoru do souřadných os, tedy vektor \vec{u}=\overrightarrow{AB} má souřadnice: \vec{u}=(u_1;u_2)=(b_1-a_1;b_2-a_2)

Velikost vektoru \vec {u}=\overrightarrow{AB} je délka úsečky AB, značíme \left| \vec{u} \right| a platí: \left| \vec{u} \right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}

Jednotkový vektor má délku 1.

Nulový vektor má nulovou délku, tedy splývá jeho počáteční a koncový bod.

Již víme, že vektor je množina nekonečně mnoha orientovaných úseček, jedna z nich má počátek v počátku souřadného systému, v bodě O=[0;0]. Souřadnice koncového bodu jsou souřadnice daného vektoru.

Všimněte si, že souřadnice vektoru \overrightarrow{AB} jsme získali odečtením souřadnic bodu A od souřadnic bodu B

Pro souřadnice vektoru \overrightarrow{AB} určeného body A=[a_1;a_2], B=[b_1;b_2] platí: \overrightarrow{AB}=B-A=(b_1-a_1;b_2-a_2)

Velikost vektoru \overrightarrow{AB} je délka úsečky AB. Vektor, který má délku 1, se nazývá jednotkový vektor:

Vektor, který má nulovou délku (počáteční a koncový bod vektoru splývá) se nazývá nulový vektor:

Velikost vektoru \vec{u}=(u_1;u_2) určíme s využitím Pythagorovy věty: \left| \vec{u} \right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}

Ve vybarveném trojúhelníku je délka vektoru přepona, odvěsny mají délky u_1 a u_2.

Opačné vektory jsou vektory, které mají stejnou délku a opačnou orientaci. K vektoru \vec{u}=(u_1;u_2) je opačný vektor \vec{v}=(-u_1;-u_2)

Kolineární vektory jsou vektory, které můžeme umístit na jednu přímku. S vektorem \vec{u}=(u_1;u_2) je kolineární každý vektor \vec{v}=(k\cdot u_1;k \cdot u_2), kde k je reálné nenulové číslo. Pro k>0 vektory mají stejný směr, pro k<0 mají vektory opačný směr.

Kolmé vektory jsou vektory, které svírají pravý úhel K vektoru \vec{u}=(u_1;u_2) je kolmý každý vektor \vec{v}=(-k\cdot u_2;k \cdot u_1), kde k je reálné nenulové číslo.

Vektory v rovině mohou být zapsané jako dvojice čísel – souřadnic v rovině, podobně trojrozměrné vektory lze zapsat jako trojice čísel – souřadnic v prostoru.

Operace jako součet, rozdíl a vynásobení reálným číslem, které umíme jednoduše provádět s čísly, lze s vektory provádět po jednotlivých souřadnicích. Tím se zabývá kapitolka Vektory: násobení konstantou, součet, rozdíl. Příklady praktického použití těchto operací s vektory:

• vrabec letí stejným směrem jako moucha a dvakrát rychleji než moucha – vektor rychlosti vrabce získáme, když vektor rychlosti mouchy vynásobíme konstantou 2,
• satelitní snímky ukazují, že ráno ještě vozítko Marka Watneyho stálo na marsovské základně, za dnešek ujel 50 km na východ – jeho novou polohu získáme, když k souřadnicím základny přičteme vektor (50;0),
• šnek přelezl rovně po monitoru z levého horního rohu (souřadnice v pixelech [0;0]) do bodu [1007;555] – vektor, jehož souřadnice jsou počty pixelů, co šnek ulezl v horizontálním a vertikálním směru získáme jako rozdíl jeho umístění na konci pohybu a jeho umístění na začátku pohybu.

Speciální operace, kterou lze provést se dvěma vektory stejné dimenze (mají stejný počet souřadnic), je skalární součin. Vstup této operace jsou dva vektory, výstup je reálné číslo.

Díky skalárnímu součinu můžeme vypočítat kupříkladu jaký úhel vektory svírají, speciálně jestli jsou na sebe kolmé (v takovém případě jejich skalární součin vyjde nulový).

Součet vektorů

Vektory \vec{u} a \vec{v} sečteme takto: počáteční bod vektoru \vec{v} posuneme do koncového bodu vektoru \vec{u}. Součet vektorů \vec{u} a \vec{v} je vektor \vec{w}, který má počáteční bod stejný jako vektor \vec{u} a koncový bod stejný jako vektor \vec{v}. Píšeme: \vec{u}+\vec{v}=\vec{w}

Vektory na obrázku jsou označené \vec{u}=\overrightarrow{AB}, \vec{v}=\overrightarrow{BC}. Součet těchto vektorů: \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

Mějme vektory se souřadnicemi \vec{u}=(u_1;u_2), \vec{v}=(v_1;v_2). Pak součet vektorů \vec{u} a \vec{v} je vektor \vec{w} se souřadnicemi \vec{w}=(u_1+v_1; u_2+v_2).

Rozdíl vektorů

Rozdíl vektorů \vec{u} a \vec{v} je součet vektoru \vec{u} s vektorem opačným k \vec{v}. Tedy:

\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})

Máme-li souřadnice vektorů: \vec{u}=(u_1;u_2), \vec{v}=(v_1;v_2), pak rozdíl vektorů \vec{u} a \vec{v} je vektor \vec{w}, který má souřadnice: \vec{w}=(u_1-v_1; u_2-v_2).

Násobek vektoru

Vektor \vec{u} můžeme vynásobit libovolným reálným číslem k. Dostaneme vektor \vec{v}, kterému říkáme násobek vektoru. Píšeme \vec{v}=k \cdot \vec{u}

• Pokud k>0, vektory \vec{u} a k \cdot \vec{u} mají stejný směr
• Pokud k<0, vektory \vec{u} a k \cdot \vec{u} mají opačný směr
• Pokud k=0, vektor k \cdot \vec{u} je nulový vektor

Máme-li souřadnice vektoru \vec{u}=(u_1;u_2), pak jeho násobek \vec{v}=k \cdot \vec{u} má souřadnice \vec{v}=(k \cdot u_1; k\cdot u_2).

Skalární součin vektorů \vec{u} a \vec{v} označujeme \vec{u}\cdot \vec{v}. Pro vektory \vec{u}, \vec{v} o velikostech \left| \vec{u} \right| a \left| \vec{v} \right|, které spolu svírají úhel \alpha, je skalární součin definován následovně:

\vec{u}\cdot \vec{v}=\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|\cdot \cos \alpha

Vlastnosti skalárního součinu

• Výsledkem skalárního součinu dvou vektorů je číslo (neboli skalár).
• Skalární součin nulového vektoru s libovolným jiným vektorem je vždy roven 0.
• Skalární součin vektorů, které jsou na sebe kolmé, je také roven nule.

Výpočet pomocí souřadnic

Máme-li souřadnice vektorů \vec{u}=(u_1;u_2), \vec{v}=(v_1;v_2), pak hodnota jejich skalárního součinu je:

u_1\cdot v_1+u_2 \cdot v_2

Určení úhlu svíraného dvěma vektory

S využitím vztahu pro skalární součin můžeme určit úhel vektorů: \cos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|}

Přímka je jednoznačně určena bodem, který na ní leží a směrovým vektorem, což si můžete prakticky vyzkoušet v kapitole Určení přímky.

V rovině i v prostoru lze zapsat přímku jako množinu bodů, které splňují parametrickou rovnici. V rovině umíme pro danou přímku napsat také obecnou rovnici (ale v prostoru ne).

Máme-li přímku popsanou rovnicí, umíme určit vzájemnou polohu dvou přímek nebo vzájemnou polohu přímky a bodu výpočtem.

Přímka je jednoznačně určena dvěma body, na obrázku je přímka p určená body A a B. Každý vektor, který je rovnoběžný s vektorem \overrightarrow{AB} se nazývá směrový vektor přímky p. Kterýkoliv z vektorů na obrázku je směrový vektor přímky p. K tomu, abychom určili konkrétní přímku ještě potřebujeme znát jeden bod na přímce (přímka p na obrázku je určena bodem A a kterýmkoliv z vektorů \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}).

Parametrické rovnice přímky

Přímka určená bodem A=[a_1;a_2] a vektorem \vec{u}=(u_1;u_2) má parametrické rovnice tvaru: \begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2\\&&t\in\mathbb{R}\end{array} Zkráceně můžeme vyjádřit p:X=A+t\vec{u}, číslo t nazýváme parametr.

Obecná rovnice přímky

Každý vektor kolmý k přímce p se nazývá normálový vektor přímky p. Obecná rovnice přímky je rovnice ve tvaru: ax+by+c=0, kde konstanty a a b jsou souřadnice normálového vektoru a c reálné číslo.

Bod a přímka

Bod M=[m_1;m_2] leží na přímce, jestliže jeho souřadnice vyhovují rovnici přímky. Pokud je přímka daná obecnou rovnicí ax+by+c=0, pro souřadnice bodu, který leží na přímce platí: a\cdot m_1+b\cdot m_2+c=0 Pokud je přímka daná parametricky, po dosazení souřadnic bodu vychází z obou rovnic stejná hodnota parametru t. (Více o vzájemné poloze bodu a přímky.)

Dvě přímky

Přímky rovnoběžné mají stejný směr, tedy jejich směrové vektory jsou kolineární. Normálové vektory dvou rovnoběžných přímek jsou také kolineární. Ve speciálním případě mohou být přímky totožné.

Přímky různoběžné mají jeden společný bod, tento bod musí splňovat rovnice obou přímek. Jejich směrové vektory nejsou kolineární, normálové vektory také nejsou kolineární.

Více o vzájemné poloze dvou přímek.

Přímka v prostoru

Přímku v prostoru nelze vyjádřit obecnou rovnicí. Parametrickou rovnici přímky v prostoru určíme obdobně jako v rovině na základě znalosti souřadnic směrového vektoru a jednoho bodu na přímce.

Přímka je obvykle určena bodem a vektorem, případně dvěma body.

Přímka p na obrázku je určena například:

• bodem A=[1;2], který na ní leží a směrovým vektorem \vec{u}=(1;-2)
• nebo dvěma různými body [1;2] a [2;0], které na ní leží

Přímka určená bodem A=[a_1;a_2] a směrovým vektorem \vec{u}=(u_1;u_2) má parametrické rovnice tvaru:

\begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

Zkráceně můžeme vyjádřit p:X=A+t\vec{u}, číslo t nazýváme parametr. Pokud známe dva body A, B ležící na přímce, směrový vektor je například \vec{u}=\overrightarrow{AB}.

Parametrické rovnice přímky p určené body A=[1;2] a B=[3;1]

• přímka p je určená bodem A a směrovým vektorem \vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(2;-1)
• parametrické rovnice přímky p: \begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&2-t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

Obecná rovnice přímky v rovině má tvar: ax+by+c=0, kde konstanty a a b jsou souřadnice normálového vektoru a c reálné číslo. Normálový vektor \vec{n}=(a;b) je vektor kolmý k dané přímce, tedy i kolmý ke směrovému vektoru přímky.

Každou přímku p, která není rovnoběžná s osou y můžeme vyjádřit ve tvaru: y=kx+q, kde k,q\in\mathbb{R}.

Tento tvar se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky.

Konstanta k se nazývá směrnice a její hodnota je tangens úhlu, který svírá přímka p s kladnou částí osy x, tedy: k=\tan \varphi.

Konstanta q určuje průsečík přímky p s osou y, souřadnice průsečíku jsou: P=[0;q]. Pro přímku, která prochází počátkem je q=0, tedy směrnicový tvar její rovnice je: y=kx.

Směrnice přímky, která má směrový vektor \vec{u}=(u_1;u_2) je podíl souřadnic směrového vektoru:

k=\tan \varphi=\frac{u_2}{u_1}

Dvě přímky

Dvě rovnoběžné přímky svírají s kladnou částí osy x stejný úhel, mají tedy stejnou směrnici.

Pro dvě k sobě kolmé přímky platí:

• přímka p má směrový vektor \vec{u}=(u_1;u_2) a tedy směrnicí: k=\frac{u_2}{u_1}
• každá přímka k ní kolmá má směrový vektor (-u_2;u_1) a tedy směrnici: \frac{-u_2}{u_1}=-\frac{1}{k}

Vzájemnou polohu dvou přímek můžeme snadno určit, pokud známe souřadnice jejich směrových, případně normálových vektorů. Přímky rovnoběžné mají stejný směr, tedy jejich směrové vektory jsou kolineární. Normálové vektory dvou rovnoběžných přímek jsou také kolineární. Ve speciálním případě mohou být přímky totožné. Přímky různoběžné mají jeden společný bod, tento bod musí splňovat rovnice obou přímek. Jejich směrové vektory nejsou kolineární, normálové vektory také nejsou kolineární.

Rovnoběžky zadané obecnými rovnicemi

Určete vzájemnou polohu dvou přímek daných obecnými rovnicemi p: 2x+y-1=0 a q:4x+2y+3=0.

• normálový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;1)
• normálový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{m}=(4;2)
• Přímky p a q jsou rovnoběžné, protože jejich normálové vektory jsou kolineární.
• Ověříme, že přímky nejsou totožné. Stačí určit, zda bod, který leží na jedné přímce neleží na přímce druhé.
• Na přímce p leží například bod A=[0;1].
• Ověříme, zda A leží na p dosazením souřadnic bodu A do rovnice přímky p: 4\cdot0+2\cdot1+3\neq 0
• A nesplňuje rovnici, takže neleží na přímce q \Rightarrow přímky nejsou totožné

Souvislost počtu společných bodů přímek s počtem řešení soustavy rovnic

Pro určení společného bodu (bodů) dvou přímek, vždy řešíme soustavu rovnic. Tato soustava může mít:

• jedno řešení – přímky jsou různoběžné
• žádné řešení – přímky jsou rovnoběžné
• nekonečně mnoho řešení – přímky jsou totožné

Bod leží na přímce, jestliže jeho souřadnice vyhovují rovnici přímky.

• Pokud je přímka daná obecnou rovnicí, po dosazení souřadnic bodu, který na přímce leží, do rovnice přímky nastane rovnost.
• Pokud je přímka daná parametricky, po dosazení souřadnic bodu vychází z obou rovnic stejná hodnota parametru t.

V polohových úlohách řešíme analyticky vzájemnou polohu geometrických útvarů v rovině. Nejčastěji jde o vzájemnou polohu dvou přímek nebo o vzájemnou polohu přímky a bodu.

V metrických úlohách v analytické geometrii bývá úkolem spočítat konkrétní číselnou hodnotu veličin jako je:

• vzdálenost dvou objektů, např. vzdálenost bodu od přímky,
• odchylka dvou přímek v rovině.

Vzdálenost bodu od přímky je délka nejkratší úsečky určené bodem M a bodem ležícím na přímce p. Jak je vidět z obrázku tato nejkratší úsečka leží na kolmici z bodu M k přímce p. Vzdálenost bodu od přímky tedy můžeme určit takto:

1. najdeme přímku k, která prochází bodem M a je kolmá k přímce p
2. určíme průsečík P přímky k s přímkou p
3. vzdálenost bodu M od přímky p je délka úsečky PM

Vzorec pro vzdálenost bodu od přímky dané obecnou rovnicí

Vzdálenost bodu M=[m_1;m_2] od přímky p dané obecnou rovnicí ax+by+c=0 je dána vzorcem: d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Vzdálenost dvou rovnoběžek

Umíme-li určit vzdálenost bodu od přímky, snadno určíme také vzdálenost dvou rovnoběžek. Stačí si uvědomit, že všechny body ležící na jedné přímce mají od druhé přímky stejnou vzdálenost. Proto je vzdálenost rovnoběžek stejná jako vzdálenost libovolného bodu na jedné přímce od přímky druhé.

Odchylka rovnoběžek je 0^\circ. Odchylka různoběžek je velikost ostrého nebo pravého úhlu, který přímky svírají.

Odchylku různoběžek p a q můžeme vypočítat na základě znalosti směrových nebo normálových vektorů přímek. Vzorec pro výpočet úhlu různoběžek je obdobný jako vzorec pro výpočet úhlu vektorů

Odchylka různoběžek je úhel \alpha, pro který platí: \cos \alpha =\frac{\left| \vec{u} \cdot \vec{v} \right|}{\left| \vec{u} \right|\cdot \left| \vec{v} \right|} Vektory \vec{u} a \vec{v} uvedené ve vzorci jsou směrové vektory \overrightarrow{s_p} a \overrightarrow{s_q} nebo normálové vektory \overrightarrow{n_p} a \overrightarrow{n_q} přímek p a q.

Pro dvě k sobě kolmé přímky platí, že jejich odchylka \alpha=90^\circ a tedy \cos\alpha=0.

Rovina je určena třemi body, které neleží na jedné přímce. Z předchozích kapitol již víme, že dvojice bodů určuje přímku, případně vektor, proto je mnoho dalších způsobů jak určit rovinu:

• bodem a přímkou
• dvěma různoběžnými přímkami
• dvěma rovnoběžnými přímkami
• bodem a dvěma vektory

V prostoru lze zapsat rovinu jako množinu bodů, které splňují parametrickou rovnici nebo obecnou rovnici.

Máme-li rovinu popsanou rovnicí, umíme určit vzájemnou polohu roviny a bodu výpočtem.

Přímka je jednoznačně určena bodem a dvěma vektory, které nejsou kolineární. Na obrázku je rovina \alpha určená bodem A a vektory \vec{u}, \vec{v}. Každý vektor, který je kolmý k rovině \alpha se nazývá normálový vektor roviny \alpha. Na obrázku je normálový vektor \vec{n}.

Parametrické rovnice roviny

Rovina určená bodem A=[a_1;a_2;a_3] a vektory \vec{u}=(u_1;u_2;u_3) a \vec{v}=(v_1;v_2;v_3) má parametrické rovnice tvaru:

\begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\z&=&a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

Zkráceně můžeme vyjádřit \alpha:X=A+t\vec{u}+s\vec{v}, kde t, s nazýváme parametry.

Obecná rovnice roviny

Obecná rovnice roviny je ve tvaru ax+by+cz+d=0, kde konstanty a, b, c jsou souřadnice normálového vektoru a d reálné číslo.

Bod a rovina

Bod M=[m_1;m_2;m_3] leží v rovině, jestliže jeho souřadnice vyhovují rovnici roviny.

• Pokud je rovina daná obecnou rovnicí ax+by+cz+d=0, pro souřadnice bodu, který leží na přímce platí: a\cdot m_1+b\cdot m_2+c\cdot m_3+d=0
• Pokud je rovina daná parametricky, po dosazení souřadnic bodu do parametrických rovnic dostaneme soustavu tří rovnic pro dvě neznámé t, s, která má právě jedno řešení (dvojici reálných čísel).

Dvě rovnoběžné roviny

Normálové vektory dvou rovnoběžných rovin \alpha: a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 a \beta: a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 jsou kolineární, tedy souřadnice jednoho vektoru jsou k-násobek souřadnic druhého vektoru. Pro konstanty v obecných rovnicích musí platit:

\begin{array}{rll}a_2&=&k\cdot a_1\\ b_2&=&k\cdot b_1\\c_2&=&k\cdot c_1\\&&k\in\mathbb{R}\end{array}

Pokud by platilo i d_2=k\cdot d_1 roviny jsou totožné.

Pro určení parametrických rovnic roviny potřebujeme znát souřadnice jednoho bodu a dvou nekolineárních vektorů v rovině \alpha. Rovina určená bodem A=[a_1;a_2;a_3] a vektory \vec{u}=(u_1;u_2;u_3) a \vec{v}=(v_1;v_2;v_3) má parametrické rovnice tvaru:

\begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\z&=&a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

Zkráceně můžeme vyjádřit \alpha:X=A+t\vec{u}+s\vec{v}, kde t,s \in \mathbb{R} jsou parametry.

Obecná rovnice roviny má tvar ax+by+cz+d=0, kde konstanty a, b, c jsou souřadnice normálového vektoru a d reálné číslo. Normálový vektor \vec{n}=(a;b;c) je vektor kolmý k dané rovině.

Bod leží v rovině, jestliže jeho souřadnice vyhovují rovnici roviny. Pokud je rovina daná obecnou rovnicí, po dosazení souřadnic bodu do rovnice roviny nastane rovnost. Pokud je rovina daná parametricky, po dosazení souřadnic bodu dostaneme soustavu tří rovnic pro dvě neznámé, která má právě jedno řešení.

Jak již název napovídá, mají kuželosečky společný původ. Vzniknou jako řez rotační kuželové plochy rovinou.

• Kružnice vznikne řezem roviny kolmé na osu kuželové plochy.
• Pokud rovinu řezu trochu nakloníme, vznikne elipsa.

• Pokud rovinu řezu nakloníme tolik, že bude rovnoběžná s některou z přímek na kuželové ploše, vznikne parabola.
• Při dalším naklánění už rovina řezu protne obě části kuželové plochy a vznikne dvoudílná hyperbola.

Na kuželosečky můžeme také hledět jako na množiny bodů dané vlastnosti. V analytické geometrii často zapisujeme tyto množiny pomocí rovnic.

Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od daného pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Bod S nazýváme střed kružnice, hodnotu r nazveme poloměr kružnice.

Středová rovnice kružnice

Středová rovnice kružnice o středu S[m;n] a poloměru r je ve tvaru: (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2

Obecná rovnice kružnice

Podobně jako existuje několik tvarů rovnic přímky, můžeme i rovnici kružnice zapsat různými způsoby. Obecná rovnice kružnice je ve tvaru: x^2 +y^2-2mx-2ny+p=0.

Každá rovnice v tomto tvaru ale nemusí ještě být obecnou rovnicí kružnice. Pro obecnou rovnici kružnice musí platit, že výraz m^2+n^2-p je kladný. Praktické ověření, zda se jedná o kružnici, ale obvykle provádíme převedením na středovou rovnici kružnice.

Kružnice a přímka

• přímka s protíná kružnici ve dvou bodech – sečna kružnice
• přímka t protíná kružnici v jednom bodě – tečna kružnice
• přímka v kružnici neprotíná – vnější přímka kružnice

Rovnice tečny kružnice v bodě, který leží na kružnici

Polára kružnice

Z bodu R mimo kružnici můžeme sestrojit dvě tečny k dané kružnici. Přímka určená body dotyku tečen se nazývá polára kružnice vzhledem k bodu R.

Rovnice poláry kružnice kružnice (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2 vzhledem k bodu R[r_1;r_2] je (r_1-m)(x-m) +(r_2-n)(y-n)=r^2.

Elipsa je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou různých bodů (ohnisek) stálý součet vzdáleností 2a, který je větší než vzdálenost ohnisek.

Středová rovnice elipsy

Tvar středové rovnice elipsy o středu S[m;n] s velikostmi hlavní a vedlejší poloosy a a b závisí na poloze hlavní osy:

• hlavní osa je rovnoběžná s osou x, rovnice je ve tvaru: \frac{(x-m)^2}{a^2} +\frac{(y-n)^2}{b^2}=1

• hlavní osa je rovnoběžná s osou y, rovnice je ve tvaru: \frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1

Obecná rovnice elipsy

Podobně jako existuje několik rovnic přímky, můžeme i rovnici elipsy zapsat jiným způsobem. Obecná rovnice elipsy je ve tvaru:

Ax^2 +By^2+Cx+Dy+E=0, A\ne B, A\cdot B>0.

Každá rovnice v tomto tvaru ale nemusí být obecnou rovnicí elipsy. Praktické ověření, zda se jedná o elipsu provádíme převedením na středovou rovnici.

Elipsa a přímka

• přímka s protíná elipsu ve dvou bodech – sečna elipsy
• přímka t protíná elipsu v jednom bodě – tečna elipsy
• přímka v elipsu neprotíná – vnější přímka elipsy

Rovnice tečny elipsy v bodě, který leží na elipse

Elipsa daná rovnicí \frac{(x-m)^2}{a^2} +\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 má v bodě T[x_0;y_0] tečnu určenou rovnicí:

\frac{(x-m)(x_0-m)}{a^2} +\frac{(y-n)(y_0-n)}{b^2}=1

Podobně můžeme zapsat i rovnici tečny elipsy, která má hlavní osu rovnoběžnou s osou y.

Parabola je množina všech bodů roviny, které mají stejnou vzdálenost od daného bodu (ohnisko) a dané přímky (řídící přímka)

Vrcholová rovnice paraboly

Tvar rovnice závisí na umístění osy:

• osa paraboly rovnoběžná s osou y, vrcholová rovnice pak má tvar: (x-m)^2=\pm 2p(y-n)
• osa paraboly rovnoběžná s osou x, vrcholová rovnice pak má tvar: (y-n)^2=\pm 2p(x-m)

V rovnici paraboly označují m, n souřadnice vrcholu paraboly, tedy vrchol je bod V=[m;n]. Dále p je parametr paraboly = vzdálenost ohniska od řídící přímky. Znaménko před parametrem závisí na poloze vrcholu vzhledem k bodům paraboly.

Příklad paraboly s osou rovnoběžnou s osou y

• body paraboly mají y souřadnici alespoň tak velkou jako vrchol (tj. n)
• vrcholová rovnice: (x-m)^2= + 2p(y-n)

Příklad paraboly s osou rovnoběžnou s osou y, druhá orientace

• body paraboly mají y souřadnici nejvýše tak velkou jako vrchol (tj. n)
• vrcholová rovnice: (x-m)^2= - 2p(y-n)

Příklad paraboly s osou rovnoběžnou s osou x

• body paraboly mají x souřadnici alespoň tak velkou jako vrchol (tj. m)
• vrcholová rovnice: (y-n)^2= + 2p(x-m)

Příklad paraboly s osou rovnoběžnou s osou x, druhá orientace

• body paraboly mají x souřadnici nejvýše tak velkou jako vrchol (tj. m)
• vrcholová rovnice: (y-n)^2= - 2p(x-m)

Obecná rovnice paraboly

Tvar rovnice závisí na umístění osy:

• osa paraboly je rovnoběžná s osou y: y=ax^2+bx+c
• osa paraboly je rovnoběžná s osou x: x=ay^2+by+c

Příklad paraboly s osou rovnoběžnou s osou y, obecná rovnice

• obecná rovnice: y=ax^2+bx+c
• kde a>0

Příklad paraboly s osou rovnoběžnou s osou y, druhá orientace, obecná rovnice

• obecná rovnice: y=ax^2+bx+c
• kde a<0

Příklad paraboly s osou rovnoběžnou s osou x, obecná rovnice

• obecná rovnice: x=ay^2+by+c
• kde a>0

Příklad paraboly s osou rovnoběžnou s osou x, druhá orientace, obecná rovnice

• obecná rovnice: x=ay^2+by+c
• kde a<0

Přímka a parabola

• přímka b protíná parabolu ve dvou bodech – sečna paraboly
• přímka a se dotýká paraboly v jednom bodě – tečna paraboly
• přímka c neprotíná parabolu

Rovnice tečny paraboly v bodě, který leží na parabole

• parabola daná rovnicí (x-m)^2=\pm 2p(y-n) má v bodě T=[x_0;y_0] tečnu: (x-m)(x-x_0)=\pm p(y-n)\pm p(y-y_0)
• parabola daná rovnicí (y-n)^2=\pm 2p(x-m) má v bodě T=[x_0;y_0] tečnu: (y-n)(y-y_0)=\pm p(x-m)\pm p(x-x_0)

Hyperbola je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou různých bodů (ohnisek) stálý rozdíl vzdáleností 2a, který je menší než vzdálenost ohnisek. Hyperbola se skládá ze dvou částí – větví hyperboly. Tyto dvě větve se blíží k přímkám, které nazýváme asymptoty.

Středová rovnice hyperboly

Tvar středové rovnice hyperboly o středu S[m;n] s velikostmi hlavní a vedlejší poloosy a,b závisí na poloze hlavní osy.

Středová rovnice hyperboly s hlavní osou rovnoběžnou s osou x

Pokud je hlavní osa rovnoběžná s osou x, rovnice je ve tvaru \frac{(x-m)^2}{a^2} -\frac{(y-n)^2}{b^2}=1

Středová rovnice hyperboly s hlavní osou rovnoběžnou s osou y

Pokud je hlavní osa rovnoběžná s osou y, rovnice je ve tvaru -\frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1

Na rozdíl od elipsy, nemusí být u hyperboly vždy hlavní poloosa a delší než vedlejší poloosa b. Pro rovnoosou hyperbolu dokonce platí a=b.

Rovnice asymptot

Už víme, že asymptoty jsou přímky, ke kterým se hyperbola blíží. Pomohou při vykreslení hyperboly. Rovnice asymptot závisí na tvaru středové rovnice hyperboly.

Pro hyperbolu danou rovnicí ve tvaru \frac{(x-m)^2}{a^2} -\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 jsou rovnice asymptot:

y=\pm\frac{b}{a}(x-m)+n

Pro hyperbolu danou rovnicí ve tvaru -\frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1 jsou rovnice asymptot:

y=\pm\frac{a}{b}(x-m)+n

Jak načrtnout hyperbolu?

• Nejprve si vyznačíme střed, hlavní a vedlejší vrcholy.
• Poté sestrojíme charakteristický obdélník hyperboly. To je obdélník, který má strany rovnoběžné s osami a vrcholy hyperboly jsou středy jeho stran. Délky jeho stran jsou tedy 2a a 2b.
• Asymptoty jsou úhlopříčky charakteristického obdélníku.

Obecná rovnice hyperboly

Podobně jako existuje několik rovnic elipsy, můžeme i rovnici hyperboly zapsat různými způsoby. Obecná rovnice hyperboly je ve tvaru: Ax^2 +By^2+Cx+Dy+E=0, A\cdot B<0. Podmínka A\cdot B<0 zaručuje, že konstanty A, B mají opačná znaménka. Každá rovnice v tomto tvaru ale nemusí být obecnou rovnicí hyperboly. Praktické ověření, zda se jedná o hyperbolu provádíme převedením na středovou rovnici.

Hyperbola a přímka

• přímka s protíná hyperbolu ve dvou bodech – sečna hyperboly
• přímka t protíná hyperbolu v jednom bodě – tečna hyperboly
• přímka v hyperbolu neprotíná – vnější přímka hyperboly

Speciální polohou sečny hyperboly je přímka, která je rovnoběžná s asymptotou. Taková sečna pak protíná hyperbolu v jednom bodě.

Rovnice tečny hyperboly v bodě, který leží na hyperbole

Hyperbola daná rovnicí \frac{(x-m)^2}{a^2} -\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 má v bodě T[x_0;y_0] tečnu danou rovnicí:

\frac{(x-m)(x_0-m)}{a^2} -\frac{(y-n)(y_0-n)}{b^2}=1.

Podobně můžeme zapsat i rovnici tečny hyperboly, která má hlavní osu rovnoběžnou s osou y.