Vektory: skalární součin

GKC

umime.to/GKC

Skalární součin vektorů \vec{u} a \vec{v} označujeme \vec{u}\cdot \vec{v}. Pro vektory \vec{u}, \vec{v} o velikostech \left| \vec{u} \right| a \left| \vec{v} \right|, které spolu svírají úhel \alpha, je skalární součin definován následovně:

\vec{u}\cdot \vec{v}=\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|\cdot \cos \alpha

Vlastnosti skalárního součinu

Výsledkem skalárního součinu dvou vektorů je číslo (neboli skalár).
Skalární součin nulového vektoru s libovolným jiným vektorem je vždy roven 0.
Skalární součin vektorů, které jsou na sebe kolmé, je také roven nule.

Výpočet pomocí souřadnic

Máme-li souřadnice vektorů \vec{u}=(u_1;u_2), \vec{v}=(v_1;v_2), pak hodnota jejich skalárního součinu je:

u_1\cdot v_1+u_2 \cdot v_2

Poznámka: další typy součinu vektorů

Kromě skalárního součinu existují i jiné typy součinu vektorů (vektorový, smíšený), proto je důležité psát o jaký součin se jedná.

Příklad: skalární součin vektorů

Určete skalární součin vektorů, jestliže platí: \left| \vec{u} \right|=4, \left| \vec{v} \right|=3 a vektory svírají úhel 60°.

Vzoreček: \vec{u}\cdot \vec{v}=\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|\cdot \cos \alpha
Dosadíme známé hodnoty: \vec{u}\cdot \vec{v}=4\cdot3\cdot \cos 60°=4\cdot3\cdot\frac{1}{2}=6

Určení úhlu svíraného dvěma vektory

S využitím vztahu pro skalární součin můžeme určit úhel vektorů: \cos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|}

Příklad: úhel svíraný vektory

Určete úhel vektorů \vec{u}=(3;3) a \vec{v}=(2;0).

Platí \cos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|}.
Pomocí známých souřadnic vektorů umíme spočítat skalární součin \vec{u}\cdot\vec{v} a velikosti vektorů \left| \vec{u} \right|, \left| \vec{v} \right|:
\vec{u}\cdot \vec{v}=u_1\cdot v_1+u_2 \cdot v_2=3\cdot2+3\cdot0=6
\left| \vec{u} \right|=\sqrt{u_1^2 + u_2^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}
\left| \vec{v} \right|=\sqrt{v_1^2 + v_2^2}=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4}
Dosadíme tyto hodnoty do vztahu pro výpočet \cos \alpha:
\cos \alpha =\frac {6}{\sqrt{18}\cdot\sqrt{4}}=\frac{6}{3\sqrt{2}\cdot2}=\frac{1}{\sqrt{2}}
Úhel vektorů je 60°.

Souhrn je skryt.

Rozhodovačka

Rychlé procvičování výběrem ze dvou možností.

Vektory: skalární součin

Rozhodovačka • těžké

Psaná odpověď

Cvičení, ve kterém píšete odpověď na klávesnici.

Vektory: skalární součin

Psaná odpověď • těžké

Předcházející

Navazující

Cvičení

Vektory: skalární součin

umime.to/GKC

Vlastnosti skalárního součinu

Výpočet pomocí souřadnic

Určení úhlu svíraného dvěma vektory

Rozhodovačka