Vzájemná poloha přímek v rovině

Určete vzájemnou polohu dvou přímek p, q zadaných parametricky:

p: \begin{array}{rrl}x&=&-3+3t\\y&=&\hspace{0.25cm}2+t\\&&\hspace{0.25cm}t\in\mathbb{R}\end{array} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&1-3s\\y&=&2-s\\&&s\in\mathbb{R}\end{array}

• směrový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{u}=(3;1)
• směrový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(-3;-1)
• Přímky p a q jsou rovnoběžné, protože jejich směrové vektory jsou kolineární.
• Ověříme, že přímky nejsou totožné. Stačí určit, zda bod, který leží na jedné přímce neleží na přímce druhé.
• Na přímce p leží například bod A=[-3;2].
• Ověříme, že tento bod neleží na přímce q dosazením souřadnic bodu A do rovnic přímky q: \begin{array}{rrl}-3&=&1-3s \Rightarrow s=\frac{4}{3}\\2&=&2-\hspace{0.15cm}s\Rightarrow s=0\end{array}
• Vyšly různé hodnoty parametru s, takže bod A neleží na q \Rightarrow přímky nejsou totožné

Určete vzájemnou polohu dvou přímek daných obecnými rovnicemi p: 2x+y-1=0 a q:4x+2y+3=0.

• normálový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;1)
• normálový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{m}=(4;2)
• Přímky p a q jsou rovnoběžné, protože jejich normálové vektory jsou kolineární.
• Ověříme, že přímky nejsou totožné. Stačí určit, zda bod, který leží na jedné přímce neleží na přímce druhé.
• Na přímce p leží například bod A=[0;1].
• Ověříme, zda A leží na p dosazením souřadnic bodu A do rovnice přímky p: 4\cdot0+2\cdot1+3\neq 0
• A nesplňuje rovnici, takže neleží na přímce q \Rightarrow přímky nejsou totožné

p: \begin{array}{rrl}x&=&-1+t\\y&=&\hspace{0.25cm}3+2t\\&&\hspace{0.25cm}t\in\mathbb{R}\end{array} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&-4+s\\y&=&\hspace{0.25cm}3-s\\&&\hspace{0.25cm}s\in\mathbb{R}\end{array}

• směrový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{u}=(1;2)
• směrový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(1;-1)
• Přímky p a q jsou různoběžné, protože jejich směrové vektory nejsou kolineární.

• Průsečík přímek splňuje rovnice obou přímek, tedy každou z jeho souřadnic lze vyjádřit dvěma způsoby, dostáváme následující soustavu rovnic: \begin{array}{lrr}-1+t&=&-4+s\\\hspace{0.25cm}3+2t&=&3-s\end{array}

• Soustavu můžeme vyřešit sečtením obou rovnic: 2+3t=-1\Rightarrow3+3t=0\Rightarrow t=-1
• Výsledný parametr t dosadíme do parametrických rovnic kterékoliv z přímek a dostaneme souřadnice x,y průsečíku.

• Průsečík přímek p a q je bod R=[-2;1].

Určíme vzájemnou polohu dvou přímek zadaných obecnými rovnicemi p: 2x+y-1=0 a q:x-y+1=0.

• normálový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;1)
• normálový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{m}=(1;-1)
• Přímky p a q jsou různoběžné, protože jejich normálové vektory nejsou kolineární.
• Průsečík přímek splňuje rovnice obou přímek, tedy jeho souřadnice jsou řešením soustavy: \begin{array}{rrr}2x+y-1&=&0\\x-y+1&=&0\end{array}
• Můžeme vyřešit sečtením obou rovnic: 3x=0\Rightarrow x=0
• Průsečík přímek p a q je bod R=[0;1]

Určete vzájemnou polohu přímek p,q zadaných takto:

\hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3-2t\\y&=&2-4t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• normálový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;-1)
• směrový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(-2;-4)
• Přímky p a q jsou rovnoběžné, protože jejich směrové vektory jsou kolineární. Proto normálový vektor jedné přímky je kolmý ke směrovému vektoru druhé přímky.
• Ověříme, že přímky nejsou totožné: stačí určit, zda bod, který leží na jedné přímce neleží na přímce druhé.
• Na přímce q leží například bod B=[3;2].
• Na přímce p tento bod neleží, což zjistíme dosazením souřadnic bodu B do rovnice přímky: 2\cdot3-2+3\neq 0
• Bod B nesplňuje rovnici, takže neleží na přímce p \Rightarrow přímky nejsou totožné

Určete vzájemnou polohu přímek p,q zadaných:

\hspace{0.25cm}p: x-3y+3=0\hspace{0.25cm} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&\hspace{0.28cm}1+t\\y&=&-2+2t\\&&\hspace{0.28cm}t\in\mathbb{R}\end{array}

• normálový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(1;-3)
• směrový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(1;2)
• Přímky p a q jsou různoběžné, protože jejich směrové vektory nejsou kolineární. Vyplývá z toho, že normálový vektor jedné přímky není kolmý ke směrovému vektoru druhé přímky.
• Průsečík přímek splňuje rovnice obou přímek, tedy jeho souřadnice najdeme tak, že parametrické vyjádření přímky q dosadíme do obecné rovnice přímky p: \begin{array}{rrl}(1+t)-3(-2+2t)+3&=&0\\1+t+6-6t+3&=&0\\10-5t&=&0\\t&=&2\end{array}
• Průsečík přímek p a q je bod R=[3;2]

Hledáme průsečík(y) přímek p,q zadaných jako: \hspace{0.25cm}p: x-3y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&\hspace{0.28cm}1+t\\y&=&-2+2t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjádření do obecné rovnice a řešíme soustavu rovnic:

\begin{array}{rrl}(1+t)-3(-2+2t)+3&=&0\\1+t+6-6t+3&=&0\\10-5t&=&0\\t&=&2\end{array}

• Jedno řešení \Rightarrow různoběžné přímky

Hledáme průsečík(y) přímek p,q zadaných jako: \hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3-2t\\y&=&2-4t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjádření do obecné rovnice a řešíme soustavu rovnic:

\begin{array}{rrl}2(3-2t)-(2-4t)+3&=&0\\6-4t-2+4t+3&=&0\\7&=&0\end{array}

• Žádné řešení \Rightarrow různé rovnoběžné přímky

Hledáme průsečík(y) přímek p,q zadaných jako: \hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3+t\\y&=&9+2t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjádření do obecné rovnice a řešíme soustavu rovnic:

\begin{array}{rrl}2(3+t)-(9+2t)+3&=&0\\6+2t-9-2t+3&=&0\\0&=&0\end{array}

• Nekonečně mnoho řešení \Rightarrow totožné přímky