Roviny: pojmy

Přímka je jednoznačně určena bodem a dvěma vektory, které nejsou kolineární. Na obrázku je rovina \alpha určená bodem A a vektory \vec{u}, \vec{v}. Každý vektor, který je kolmý k rovině \alpha se nazývá normálový vektor roviny \alpha. Na obrázku je normálový vektor \vec{n}.

Parametrické rovnice roviny

Rovina určená bodem A=[a_1;a_2;a_3] a vektory \vec{u}=(u_1;u_2;u_3) a \vec{v}=(v_1;v_2;v_3) má parametrické rovnice tvaru:

\begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\z&=&a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

Zkráceně můžeme vyjádřit \alpha:X=A+t\vec{u}+s\vec{v}, kde t, s nazýváme parametry.

Obecná rovnice roviny

Obecná rovnice roviny je ve tvaru ax+by+cz+d=0, kde konstanty a, b, c jsou souřadnice normálového vektoru a d reálné číslo.

Bod a rovina

Bod M=[m_1;m_2;m_3] leží v rovině, jestliže jeho souřadnice vyhovují rovnici roviny.

• Pokud je rovina daná obecnou rovnicí ax+by+cz+d=0, pro souřadnice bodu, který leží na přímce platí: a\cdot m_1+b\cdot m_2+c\cdot m_3+d=0
• Pokud je rovina daná parametricky, po dosazení souřadnic bodu do parametrických rovnic dostaneme soustavu tří rovnic pro dvě neznámé t, s, která má právě jedno řešení (dvojici reálných čísel).

Dvě rovnoběžné roviny

Normálové vektory dvou rovnoběžných rovin \alpha: a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 a \beta: a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 jsou kolineární, tedy souřadnice jednoho vektoru jsou k-násobek souřadnic druhého vektoru. Pro konstanty v obecných rovnicích musí platit:

\begin{array}{rll}a_2&=&k\cdot a_1\\ b_2&=&k\cdot b_1\\c_2&=&k\cdot c_1\\&&k\in\mathbb{R}\end{array}

Pokud by platilo i d_2=k\cdot d_1 roviny jsou totožné.