Vzájemná poloha bodu a roviny

Určete, zda body A=[3;4;2] a B=[1;3;0] leží v rovině \alpha dané obecnou rovnicí 2x-y+3z+1=0.

• Do rovnice roviny dosadíme souřadnice bodu A=[3;4;2].
• 2\cdot 3-4+3\cdot2+1=0\Rightarrow9\neq 0, tedy bod A neleží v rovině \alpha.
• Do rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu B=[1;3;0].
• 2\cdot 1-3+3\cdot0+1=0\Rightarrow0=0, tedy bod B leží v rovině \alpha.

Určete, zda body A=[2;3;4] a B=[0;2;2] leží v rovině \alpha dané parametrickými rovnicemi:

\begin{array}{rrl}x&=&1-t+s\\y&=&2+t+s\\z&=&3-t+s\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

• Do rovnic roviny dosadíme souřadnice bodu A=[1;3;4]: \begin{array}{rrrr}2&=&1-t+s\\3&=&2+t+s\\4&=&3-t+s\\\end{array}
• Z prvních dvou rovnic určíme hodnoty t a s, dosazením do třetí rovnice zjistíme, zda nalezené hodnoty jsou řešením soustavy a tedy zda bod leží na přímce:

1. první a druhou rovnici sečteme: 5=3+2s\Rightarrow s=1
2. hodnotu s=1 dosadíme do první rovnice: 1=1-t+1\Rightarrow t=1
3. hodnoty s=1 a t=1 dosadíme do třetí rovnice: 4=3-1+1. Tato rovnost neplatí, tedy bod A neleží v rovině \alpha.

• Do rovnic roviny dosadíme souřadnice bodu B=[0;-3;2]: \begin{array}{rrrr}0&=&1-t+s\\-3&=&2+t+s\\2&=&3-t+s\\\end{array}
• Z prvních dvou rovnic určíme hodnoty t a s, dosazením do třetí rovnice zjistíme, zda nalezené hodnoty jsou řešením soustavy a tedy zda bod leží na přímce:

1. první a druhou rovnici sečteme: -3=3+2s\Rightarrow s=-3
2. hodnotu s=-3 dosadíme do první rovnice: 0=1-t-3\Rightarrow t=-2
3. hodnoty s=-3 a t=-2 dosadíme do třetí rovnice: 2=3-(-2)-3. Tato rovnost platí, tedy bod B leží v rovině \alpha.