Vzájemná poloha bodu a roviny

GSR

umime.to/GSR

Bod leží v rovině, jestliže jeho souřadnice vyhovují rovnici roviny. Pokud je rovina daná obecnou rovnicí, po dosazení souřadnic bodu do rovnice roviny nastane rovnost. Pokud je rovina daná parametricky, po dosazení souřadnic bodu dostaneme soustavu tří rovnic pro dvě neznámé, která má právě jedno řešení.

Bod a rovina daná obecnou rovnicí

Určete, zda body A=[3;4;2] a B=[1;3;0] leží v rovině \alpha dané obecnou rovnicí 2x-y+3z+1=0.

Do rovnice roviny dosadíme souřadnice bodu A=[3;4;2].
2\cdot 3-4+3\cdot2+1=0\Rightarrow9\neq 0, tedy bod A neleží v rovině \alpha.
Do rovnice roviny dosadíme souřadnice bodu B=[1;3;0].
2\cdot 1-3+3\cdot0+1=0\Rightarrow0=0, tedy bod B leží v rovině \alpha.

Bod a rovina daná parametricky

Určete, zda body A=[2;3;4] a B=[0;2;2] leží v rovině \alpha dané parametrickými rovnicemi:

\begin{array}{rrl}x&=&1-t+s\\y&=&2+t+s\\z&=&3-t+s\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

Do rovnic roviny dosadíme souřadnice bodu A=[1;3;4]: \begin{array}{rrrr}2&=&1-t+s\\3&=&2+t+s\\4&=&3-t+s\\\end{array}
Z prvních dvou rovnic určíme hodnoty t a s, dosazením do třetí rovnice zjistíme, zda nalezené hodnoty jsou řešením soustavy a tedy zda bod leží v rovině:

první a druhou rovnici sečteme: 5=3+2s\Rightarrow s=1
hodnotu s=1 dosadíme do první rovnice: 1=1-t+1\Rightarrow t=1
hodnoty s=1 a t=1 dosadíme do třetí rovnice: 4=3-1+1. Tato rovnost neplatí, tedy bod A neleží v rovině \alpha.

Do rovnic roviny dosadíme souřadnice bodu B=[0;-3;2]: \begin{array}{rrrr}0&=&1-t+s\\-3&=&2+t+s\\2&=&3-t+s\\\end{array}
Z prvních dvou rovnic určíme hodnoty t a s, dosazením do třetí rovnice zjistíme, zda nalezené hodnoty jsou řešením soustavy a tedy zda bod leží v rovině:

první a druhou rovnici sečteme: -3=3+2s\Rightarrow s=-3
hodnotu s=-3 dosadíme do první rovnice: 0=1-t-3\Rightarrow t=-2
hodnoty s=-3 a t=-2 dosadíme do třetí rovnice: 2=3-(-2)-3. Tato rovnost platí, tedy bod B leží v rovině \alpha.