Vzdálenost bodu od přímky

Určete vzdálenost bodu M=[5;2] od přímky p:4x+3y-1=0.

• Přímka k, která prochází bodem M a je kolmá k přímce p má směrový vektor kolineární s normálovým vektorem přímky p.
• Souřadnice směrového vektoru přímky k jsou: \vec{u}=(4;3).
• Přímka k má parametrické vyjádření: p:X=M+t\vec{u}
• p:\begin{array}{rrl}x&=&5+4t\\y&=&2+3t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}
• Souřadnice průsečíku P přímky k s přímkou p určíme dosazením parametrického vyjádření přímky k do obecné rovnice přímky p.

\begin{array}{rrl}4(5+4t)+3(2+3t)-1&=&0\\20+16t+6+9t-1&=&0\\25+25t&=&0\Rightarrow t=-1\end{array}

• Průsečík přímek k a p je bod P=[1;-1].
• Vzdálenost bodu M od přímky p je délka úsečky PM:
• Vzorec pro délku úsečky: d=\sqrt{(x_M-x_P)^2+(y_M-y_P)^2}
• Dosadíme souřadnice bodů M,P: d=\sqrt{(5-1)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{16+9}=5

Určete vzdálenost bodu M=[5;2] od přímky p:4x+3y-1=0 s využitím vzorce.

• Dosadíme do vzorce d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}} souřadnice bodu M=[5;2] a koeficienty a a b z obecné rovnice přímky.
• Obecná rovnice pro p je 4x+3y-1=0, tedy a=4 a b=3.
• Máme: d=\frac{\left| 4\cdot5+3\cdot2-1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{25}{\sqrt{25}}=5

Určete vzdálenost rovnoběžek p:2x-4y+3=0 a q:x-2y+1=0.

• Určíme souřadnice jednoho bodu (M) na přímce q tak, že jednu souřadnici zvolíme a druhou dopočítáme.
• Zvolíme například souřadnici y=0, pak x-2\cdot0+1=0\Rightarrow x=-1
• Dosadíme do vzorce d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}} souřadnice bodu M=[-1;0] a koeficienty a a b z obecné rovnice přímky p.
• Obecná rovnice pro p je 2x-4y+3=0, tedy a=2 a b=-4.
• Máme: d=\frac{\left| 2\cdot(-1)-4\cdot0+3\right|}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}=\frac{1}{\sqrt{20}}
• Vzdálenost rovnoběžek p a q je: d=\frac{1}{\sqrt{20}}