Funkce

Pro snadnější pochopení pojmu funkce uvedeme příklad: Děti ve třídě mají napsat měsíc svého narození. Každému dítěti je tak daným pravidlem přiřazen měsíc.

Funkce je zde předpis, který každému x (dítě) z nějaké množiny D (všechny děti ze třídy) přiřazuje právě jednu funkční hodnotu y (měsíc, ve kterém se dané dítě narodilo). Daný předpis je funkce, protože každému x je přiřazena právě jedna hodnota y – každé dítě má právě jeden měsíc, ve kterém se narodilo.

Přitom ale nemusí každému y odpovídat právě jedna hodnota x. Dva různé prvky z množiny D mohou mít stejnou funkční hodnotu – dvě děti mohou mít stejný měsíc narození.

V matematice obvykle pracujeme s funkcemi nad množinami čísel, kde vztah mezi x a y popisuje matematický výraz, píšeme ve tvaru y=f(x). Definiční obor je množina všech hodnot x, které uvažujeme (např. množina všech x pro která má výraz f(x) smysl), označujeme D(f). Obor hodnot je množina všech funkčních hodnot y, označujeme H(f).

Mezi základní typy funkcí, se kterými se v matematice setkáme, patří:

Téma typy a vlastnosti funkcí se zabývá podrobnějším rozlišováním mezi jednotlivými typy funkcí a jejich vlastnostmi, jako jsou periodičnost či omezenost.

Funkce pro lepší pochopení často zakreslujeme graficky, což nám umožňuje lépe vidět vztah mezi x a f(x). Téma grafy funkcí zastřešuje procvičování v tomto ztvárnění.

Grafy základních typů funkcí:

Pro zjednodušení popisu uvažujeme v tomto shrnutí pouze funkce, jejichž definiční obor tvoří všechna reálná čísla.

Funkce f se nazývá sudá, právě když pro každé x je f(-x) = f(x). Graf sudé funkce je souměrný podle osy y.

Funkce f se nazývá lichá, právě když pro každé x je f(-x) = -f(x). Graf liché funkce je středově souměrný počátku soustavy souřadnic.

Funkce f se nazývá periodická, právě když existuje číslo p \neq 0 (perioda funkce) takové, že pro každé x platí f(x+p)=f(x). Typickými příklady periodických funkcí jsou funkce goniometrické. Naopak třeba polynomy periodické nejsou (s výjimkou konstantní funkce).

Funkce f se nazývá zdola omezená, právě když existuje takové číslo k, že pro každé x platí f(x) \geq k. Funkce f se nazývá shora omezená, právě když existuje takové číslo k, že pro každé x platí f(x) \leq k. Funkce f se nazývá omezená, pokud je současně omezená shora i zdola.

Funkce f se nazývá prostá, právě když pro každou dvojici x_1 \neq x_2 platí f(x_1) \neq f(x_2).

Funkce f se nazývá rostoucí, právě když pro každou dvojici x_1 < x_2 platí f(x_1) < f(x_2).

Funkce f se nazývá klesající, právě když pro každou dvojici x_1 > x_2 platí f(x_1) > f(x_2).

Graf funkce f zadané předpisem y=f(x) pro všechna x z množiny D(f) je množina bodů v rovině, jejichž kartézské souřadnice x, y splňují následující podmínky:

• souřadnice x je v definičním oboru funkce f (neboli x \in D(f))
• závislost souřadnice y na x je popsaná funkčním předpisem y=f(x) (pro každé x z D(f) je v grafu právě jeden bod, jeho souřadnice jsou x a f(x))

Lineární funkci můžeme vždy zapsat ve tvaru f(x) = a \cdot x + b, kde a a b jsou konstanty. Parametr a je směrnice (též nazývaná sklon), parametr b je absolutní člen. Grafem lineární funkce je přímka, přičemž platí:

• Absolutní člen b udává „svislý posun“. Je to průsečík přímky s osou y. V uvedených příkladech je vyznačen oranžovou barvou.
• Směrnice a udává sklon přímky, což můžeme vyjádřit jako „o kolik jednotek na ose y se přímka posune za jednu jednotku na ose x“. V uvedených příkladech je směrnice vyznačena žlutou barvou.

Důležitá jsou znamínka (naznačená v obrázcích šipkami). Kladný absolutní člen znamená posun nahoru, záporný absolutní člen znamená posun dolů. Kladná směrnice znamená stoupající přímku, záporná směrnice znamená klesající přímku.

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

• Grafy lineárních funkcí: zadání
• Grafy lineárních funkcí: řešení

Kvadratickou funkci lze vyjádřit ve tvaru f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0. Grafem kvadratické funkce je parabola. Tento graf zobrazuje funkci 0{,}5 x^2 + x - 4:

Průsečíky s osou x jsou řešení kvadratické rovnice ax^2 + bx + c = 0. Pro výše uvedený příklad 0{,}5 x^2 + x - 4 jsou těmito řešeními x_1 = -4 a x_2 = 2.

Kvadratický koeficient a ovlivňuje základní podobu paraboly:

• Pokud je a>0, „směřuje parabola nahoru“ (přesněji: je to zdola omezená, konvexní funkce).
• Pokud je a<0, „směřuje parabola dolů“ (přesněji: je to shora omezená, konkávní funkce).
• Velikost kvadratického koeficientu a ovlivňuje, jak je parabola „široká“.

Konstantní člen c ovlivňuje posun paraboly – udává průsečík s osou y.

Na obrázku je graf funkce y=|x|. Tento graf tvoří dvě polopřímky s počátkem v bodě [0;0], protože pro absolutní hodnotu platí:

• absolutní hodnota kladného čísla je rovna tomuto číslu: |x|=x
• absolutní hodnota záporného čísla je rovna opačnému číslu: |x|=-x
• absolutní hodnota čísla nula je rovna nule: |0|=0

Pokud chceme nakreslit graf funkce y=|f(x)| postupujeme tak, že nakreslíme graf y=f(x) a potom záporné funkční hodnoty nahradíme opačnými. V oblasti, kde jsou funkční hodnoty záporné, se tedy graf překlopí kolem osy x.

Grafem lineární lomené funkce je hyperbola, která má asymptoty rovnoběžné se souřadnými osami x a y.

Asymptota rovnoběžná s osou y prochází bodem, který nepatří do definičního oboru a má tedy rovnici: x =-\frac{d}{c}.

Pro nalezení rovnice asymptoty rovnoběžné s osou x vydělíme čitatele a jmenovatele a funkční předpis y =\frac{ax+b}{cx+d} upravíme na tvar y =\frac{a}{c}+\frac{n}{ax+b}. Asymptota rovnoběžná s osou x má rovnici: y =\frac{a}{c}.

Průsečík grafu s osou x je bod, pro který ax+b=0. V tomto bodě je hodnota funkce nulová, tedy čitatel zlomku \frac{ax+b}{cx+d} je nulový.

Průsečík grafu s osou y je bod, který dostaneme dosazením hodnoty x=0 do funkčního předpisu.

Grafy základních goniometrických funkcí intuitivně

Grafy goniometrických funkcí s popsanými osami

Funkce sinus y=\sin x:

Funkce cosinus y=\cos x:

Funkce tangens y=\tan x:

Funkce cotangens y=\cot x:

Dopad úprav funkce na graf

Obrázek ukazuje grafy několika úprav funkce \sin x.

Grafy exponenciálních funkcí

Grafem exponenciální funkce je křivka jménem exponenciála. Na obrázku jsou grafy exponenciálních funkcí se základy 2 a e = 2{,}7 182 818 284\ldots. Vidíme také, že grafy funkcí e^x a e^{-x} jsou spolu souměrné podle osy y.

Efekt přičtení konstanty k exponenciální funkci

Efekt přičtení konstanty k exponentu

Efekt vynásobení exponenciální funkce konstantou

Efekt vynásobení exponentu konstantou

Grafy logaritmických funkcí

Logaritmická funkce je inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Grafy dvou navzájem inverzních funkcí jsou osově souměrné podle osy prvního kvadrantu (tj. přímky splňující x=y).

Na obrázku vidíme grafy logaritmických funkcí s různými základy 2, e, 10.

Značení některých význačných logaritmických funkcí:

Efekt přičtení konstanty k logaritmické funkci

Efekt přičtení konstanty k argumentu logaritmické funkce

Efekt vynásobení logaritmické funkce konstantou

Efekt vynásobení argumentu logaritmické funkce konstantou

Souřadnice bodů většinou zapisujeme pomocí kartézské soustavy souřadnic v rovině, která má jako osy dvě kolmé přímky. Vodorovná přímka se tradičně označuje x a souřadnice podél této osy se zapisuje první. Svislá přímka se tradičně označuje y a souřadnice podle této osy se zapisuje druhá. Přímky x, y se protínají v bodě [0;0].

Přímky x a y jsou souřadné osy, bod [0;0] je počátek soustavy souřadnic.

Příklad: Souřadnice bodu A

Bod A na obrázku je v dané soustavě souřadnic určen jako x=1, y=2, což můžeme zapsat jako A[1;2].

Další příklady souřadnic bodů

Funkce f je lineární, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru f(x) = a\cdot x + b, kde a a b jsou konstanty. Grafem lineární funkce je přímka. Parametr a je směrnice (též nazývaná sklon), parametr b určuje její svislý posun (též nazývaný absolutní člen).

Příklady lineárních funkcí:

• f(x) = 2x
• f(x) = -4x+8
• f(x) = \frac13 x + 1{,}2

Aby byla funkce lineární, nemusí být nutně přímo zapsána ve tvaru f(x) = a\cdot x + b. Stačí, když jde na tento tvar upravit. Příklady:

• f(x) = 2-x můžeme přepsat jako f(x)= -1x + 2, což je lineární funkce se směrnicí −1 a absolutním členem 2.
• f(x) = 5(3-x) můžeme přepsat jako f(x)= -5x + 15, což je lineární funkce se směrnicí −5 a absolutním členem 15.
• f(x) = x^2 + 7 - x(x-1) vypadá na první pohled jako kvadratická funkce, ale můžeme ji upravit na f(x)= x + 7 (kvadratický člen se vyruší), takže jde o lineární funkci.

Funkce f je lineární, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru f(x) = a\cdot x + b, kde a a b jsou konstanty. Definiční obor lineární funkce je celá množina reálných čísel.

Speciálním případem lineární funkce je funkce konstantní. Tu dostáváme v případě, že a=0.

Pokud a \neq 0, pak pro lineární funkci platí:

• je prostá,
• není shora ani zdola omezená,
• nemá maximum ani minimum,
• není periodická,
• obor hodnot je množina reálných čísel.

Pro a>0 je funkce f rostoucí, pro a<0 je funkce f klesající.

Pro b=0 je funkce f lichá.

Grafem lineární funkce je přímka. Průsečík grafu s osou y je v bodě (0, b). Průsečík grafu s osou x je v bodě (-\frac{b}{a}, 0).

Nejjednodušší rovnice obsahují pouze lineární výrazy, tj. vyskytují se v nich pouze konstanty a násobky proměnné x. Rovnici upravujeme pomocí ekvivalentních úprav: přičítání a odčítání stejného výrazu k oběma stranám rovnice, úpravy výrazů na levé a pravé straně. Pomocí takových úprav ji převedeme do tvaru x = a, kde a je řešení.

Počet řešení

U základních lineárních rovnic mohou nastat tři případy:

• Rovnice nemá žádné řešení, např. x+2=x+3.
• Rovnice má nekonečně mnoho řešení, např. u rovnice x+1+x = 2x+1 je řešením rovnice je libovolné číslo.
• Rovnice má právě jedno řešení, např. výše uvedená rovnice 2x-7 = 5-4x má jediné řešení x=2.

Časté chyby

Mezi časté chyby při řešení rovnic patří:

• provedení úpravy (přičtení čísla, vydělení čísel) pouze na jedné straně rovnice,
• chybné zkombinování konstant a výrazů s proměnnou x, např. úprava 3x + 2 na 5x,
• špatné znaménko u výrazu při převádění z jedné strany rovnice na druhou.

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

• Základní rovnice s jednou proměnnou: zadání
• Základní rovnice s jednou proměnnou: řešení

Lineární lomenou funkci můžeme vyjádřit jako podíl dvou lineárních funkcí, tedy ve tvaru

f:y =\frac{ax+b}{cx+d},

kde a,b,c,d jsou konstanty.

Definičním oborem lineární lomené funkce je množina všech reálných čísel kromě hodnoty, ve které by jmenovatel zlomku \frac{ax+b}{cx+d} byl nulový:

D(f)=\R - \{-\frac{d}{c}\}

Úpravou podmínky pro nenulovost jmenovatele zlomku dostaneme vyjádření definičního oboru pomocí nerovnice: cx+d\neq0\Rightarrow x\neq -\frac{d}{c}

Kdy je funkce nelineární a nekonstantní (a graf je hyperbola, nikoliv přímka)

K tomu, aby f:y=\frac{ax+b}{cx+d} nebyla lineární ani konstantní funkce, musí být splněno několik podmínek. Pro konstanty a,b,c,d musí platit: c\neq0 a bc-ad\neq0.

• pro c=0 bychom měli lineární funkci danou rovnicí y =\frac{a}{d}\cdot x+\frac{b}{d}
• pro bc-ad=0 bychom měli konstantní funkci y =\frac{a}{c}

Speciálním případem lineární lomené funkce je nepřímá úměrnost vyjádřená ve tvaru y =\frac{k}{x}.

Funkce je kvadratická, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0. Funkce je ryze kvadratická, pokud nemá lineární člen (tj. b=0). Grafem kvadratické funkce je parabola. Kvadratická funkce je speciální příklad polynomu.

Příklady kvadratických funkcí:

• f(x) = x^2
• f(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
• f(x) = -3x^2 + 2x -8

Funkce je kvadratická, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0.

Definiční obor kvadratické funkce je celá množina reálných čísel.

Kvadratická funkce nemá žádnou z následujících vlastností: prostá, periodická, rostoucí, klesající.

Další vlastnosti závisí na tom, zda je kvadratický člen kladný či záporný:

• Pro a>0 je funkce zdola omezená, není shora omezená. V bodě -\frac{b}{2a} má minimum.
• Pro a<0 je funkce shora omezená, není zdola omezená. V bodě -\frac{b}{2a} má maximum.

Pojmy

Kvadratická rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje jedna neznámá ve druhé mocnině. Základní tvar kvadratické rovnice je: ax^2+bx+c=0, kde a, b, c jsou reálná čísla a a\neq 0. Pro kvadratické rovnice používáme následující názvosloví:

• ax^2 je kvadratický člen,
• bx je lineární člen,
• c je absolutní člen.

Speciální typy kvadratických rovnic:

• Pokud je b=0 nazýváme rovnici ryze kvadratickou: ax^2+c=0.
• Pokud je c=0 mluvíme o rovnici bez absolutního členu: ax^2+bx=0.

Řešení kvadratické rovnice

Každou kvadratickou rovnici lze řešit pomocí výpočtu diskriminantu D. Pro něj platí: D=b^2-4\cdot a\cdot c. Mohou nastat 3 situace:

• D < 0 – rovnice nemá v reálných číslech řešení.
• D=0 – rovnice má jeden dvojnásobný kořen.
• D > 0 – rovnice má dva různé reálné kořeny.

Pro kořeny rovnice platí:

• x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
• x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

Vietovy vzorce

Kvadratické rovnice můžeme řešit i bez počítání diskriminantu za využití Vietových vzorců. Pro kořeny rovnice platí: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. V případě a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c.

Goniometrické funkce (nebo též trigonometrické funkce) jsou skupinou funkcí, které dávají do vztahu úhel v pravoúhlém trojúhelníku a poměr dvou jeho stran. Mají široké využití v geometrii a mnoho praktických aplikací – například v navigaci, nebeské mechanice nebo geodézii. Tyto funkce se vyskytují i v dalších oblastech matematiky, jako jsou komplexní čísla nebo nekonečné řady.

Základními goniometrickými funkcemi jsou sinus, kosinus a tangens. Méně často pak můžeme narazit také na sekans, kosekans a kotangens. Inverzní funkce ke goniometrickým funkcím se nazývají cyklometrické (například arkus sinus a arkus tangens).

Podrobněji se goniometrickými funkcemi zabývají tato podtémata:

• Goniometrické funkce a pravoúhlý trojúhelník – základní vztah mezi úhlem a poměrem stran v pravoúhlém trojúhelníku
• Hodnoty goniometrických funkcí – často používané hodnoty základních goniometrických funkcí pro základní úhly (např. 0°, 30°, 45°, 60°, 90°)
• Goniometrické funkce: vztahy a vzorce – klíčové vztahy mezi jednotlivými goniometrickými funkcemi a využití těchto vztahů
• Vlastnosti goniometrických funkcí – vlastnosti goniometrických funkcí, jako jsou periodičnost, symetrie
• Grafy goniometrických funkcí – grafické znázornění goniometrických funkcí

K dispozici je také pomůcka k vytištění Goniometrické funkce: přehled.

Goniometrické funkce můžeme v pravoúhlém trojúhelníku vyjádřit následovně:

• Sinus (\sin) úhlu \alpha je poměr délky odvěsny protilehlé úhlu \alpha a délky přepony.
• Kosinus (\cos) úhlu \alpha je poměr délky odvěsny přilehlé úhlu \alpha a délky přepony.
• Tangens (\tan) úhlu \alpha je poměr délky odvěsny protilehlé úhlu \alpha a délky odvěsny přilehlé úhlu \alpha.

Pokud si pamatujeme význačné hodnoty goniometrických funkcí (jako např. \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}), nebo aspoň máme k dispozici kalkulačku nebo matematické tabulky, znamená pro nás znát hodnotu \sin, \cos nebo \tan některého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku totéž jako znát velikost samotného úhlu.

Často používané hodnoty goniometrických funkcí ilustruje tento obrázek jednotkové kružnice:

Polopřímka, která svírá úhel \alpha s kladnou částí osy x a začíná v počátku souřadnic, protíná jednotkovou kružnici v bodě se souřadnicemi [\cos \alpha; \sin \alpha], neboli:

• x-ová souřadnice bodu odpovídá hodnotě \cos daného úhlu,
• y-ová souřadnice bodu odpovídá hodnotě \sin daného úhlu.

Pro goniometrické funkce platí celá řada vztahů a vzorců. Výběr těch základních:

Pro záporné hodnoty úhlů

Vztahy mezi funkcemi a posuny

Vzorce pro goniometrické funkce součtu argumentů

Vzorce pro součet hodnot goniometrických funkcí

Dvojnásobný argument

Pro obě funkce \sin x a \cos x platí:

• definiční obor je množina reálných čísel,
• obor hodnot je interval \langle -1, 1 \rangle,
• funkce je omezená,
• funkce je periodická s periodou 2\pi,
• funkce není prostá.

Pro funkci \sin x platí:

• je lichá,
• nulové hodnoty nabývá v bodech x=k\pi.

Pro funkci \cos x platí:

• je sudá,
• nulové hodnoty nabývá v bodech x=(2k+1)\frac{\pi}{2}.

Pro funkci \tan x platí:

• definiční obor je \{x \in \mathbb{R}: x \neq (2k+1)\frac{\pi}{2} \},
• obor hodnot je množina reálných čísel,
• funkce je lichá,
• funkce je periodická s periodou \pi,
• funkce je neomezená,
• nulové hodnoty nabývá v bodech x=k\pi.