Aritmetika

Čísla jsou základním stavebním kamenem matematiky. Pro dobré základní pochopení čísel nabízíme procvičování v těchto tématech:

• Počítání do 20 – základní přiřazení čísel k obrázkově vyjádřeným počtům, posloupnost čísel
• Číselná osa do 20 – umístění čísel na číselnou osu, což pomáhá lépe porozumět pořadí a hodnotám čísel
• Počítání do 100 – přiřazení čísel k obrázkově vyjádřeným počtům do 100
• Čísla a číslice – pochopení rozdílu mezi čísly a číslicemi, například jak se číslo 25 skládá z číslic 2 a 5
• Římské číslice – práce s římskými číslicemi (I, V, X, L, C, D, M)
• Čísla do 1 000 slovně – vztah mezi čísly a jejich slovním vyjádřením, např. 456 a „čtyři sta padesát šest“
• Velká čísla slovně – práce s velkými čísly ve slovní podobě

Číselná osa znázorňuje čísla. Čísla jsou na ní vyznačena značkami. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme. Číselnou osu si můžeme představit jako procházku. Začínáme na startu, kterým je číslo nula, a každý krok vede na novou značku s novým číslem.

Jednoduchý příklad číselné osy, na které hledáme číslo 7:

Římské číslice představují způsob zápisu čísel pomocí písmen latinské abecedy. Na rozdíl od běžně používaného zápisu čísel (arabské číslice, desítková soustava) jde o nepoziční číselnou soustavu. Římské číslice nejsou vhodné pro matematické výpočty, například násobení v tomto zápisu je výrazně náročnější než v desítkové soustavě. Římské číslice se však stále používají, například pro uvádění letopočtů na památnících, na hodinách, pro číslování kapitol v knihách, …

Základní římské číslice jsou I, V, X, L, C, D, M. Jejich hodnoty jsou následující:

Další čísla vytváříme spojováním a opakováním symbolů. Symboly řadíme za sebe podle velikosti. Pro zkrácení zápisu se využívá odčítání v případě, že menší symbol předchází větší. Příklady:

Zaokrouhlování znamená, že vezmeme číslo a nahradíme jej za jiné, které má přibližně stejnou velikost, ale je „jednodušší“. Například číslo 96 můžeme zaokrouhlit na číslo 100. Zaokrouhlování nám umožňuje například provádět přibližné výpočty nebo snadněji komunikovat.

Zaokrouhlování na desítky znamená, že číslo nahradíme nejbližším násobkem desítky. Například k číslu 37 je nejbližší násobek desítky číslo 40 (má vzdálenost 3). U čísel, která končí cifrou 5, není takto definované zaokrouhlování jednoznačné, například číslo 35 má stejnou vzdálenost od čísel 30 a 40. Pro tyto případy je zavedeno pravidlo, které říká, že zaokrouhlujeme nahoru, tj. číslo 35 zaokrouhlujeme na 40. Zaokrouhlování na stovky funguje stejně, jen nahrazujeme číslo nejbližším násobkem stovky.

Sčítání a odčítání jsou základní matematické operace, které tvoří základ pro další početní dovednosti. Procvičování tohoto tématu začíná prací s malými čísly, kde získáváme základní představu o těchto operacích (například pomocí grafických rozkladů) a učíme se počítat zpaměti:

• Sčítání a odčítání do 10
• Sčítání a odčítání do 20
• Sčítání a odčítání od 20 do 100

Téma sčítání a odčítání nad 100 pak pracuje s většími čísly a zaměřujeme se nejen na počítání z hlavy, ale i na písemné sčítání a odčítání („pod sebou“).

Téma sčítání, odčítání a logické myšlení pak představuje různé zajímavé logické úlohy, u kterých je potřeba nejen dobře sčítat a odčítat, ale také promyslet správný postup řešení.

Kromě interaktivních cvičení je k dispozici také pracovní list na vytištění:

• Slovní úlohy: sčítání a odčítání do 100 (zadání)
• Slovní úlohy: sčítání a odčítání do 100 (řešení)

Při písemném sčítání postupujeme následovně:

• Čísla si napíšeme pod sebe, zarovnaná doprava.
• Postupujeme z pravé strany.
• Vždy sečteme dvě čísla pod sebou a výsledek zapíšeme pod ně.
• Pokud je výsledek větší než 10, zapisujeme pouze číslo na pozici jednotek. Číslo na pozici desítek přenášíme dál doleva – přičteme jej v dalším sloupci.

Kromě níže uvedených interaktivních cvičení je k dispozici také pracovní list na vytištění:

• Pracovní list: Písemné sčítání
• Pracovní list: Písemné sčítání (řešení)

Při písemném odčítání postupujeme následovně:

• Čísla si napíšeme pod sebe, zarovnaná doprava.
• Postupujeme z pravé strany.
• Vždy odečteme dvě čísla pod sebou a výsledek zapíšeme pod ně.
• Pokud je horní číslo menší než spodní, tak si „půjčíme“ desítku a místo ní v dalším sloupci odečteme o 1 víc.

Zde najdete zajímavé úlohy, na kterých můžete zábavnou formou potrénovat nejen operace sčítání a odčítání, ale také svou schopnost logicky přemýšlet a plánovat postup řešení.

Násobení a dělení jsou základní početní operace, které navazují na sčítání a odčítání.

Násobení a dělení malými čísly se vyplatí umět důkladně zpaměti. Je to něco jako znalost základních slovíček v cizím jazyce. Bez hladkého zvládnutí základních výpočtů se v matematice „nedomluvíme“.

• Malá násobilka
• Dělení jednociferné
• Dělení se zbytkem

Na tyto základy navazuje násobení a dělení vícecifernými čísly. Na tom si dobře procvičíme základní násobilku a důkladné pochopení principu násobení a dělení:

• Násobení víceciferné
• Dělení víceciferné

Pro větší čísla pak používáme písemný zápis:

• Písemné násobení pod sebou
• Písemné dělení jednociferným číslem
• Písemné dělení dvouciferným číslem

Téma násobení, dělení a logické myšlení pak představuje různé zajímavé logické úlohy, u kterých je potřeba nejen dobře počítat, ale také promyslet správný postup řešení.

Násobení nám říká, kolik čtverečků má čokoláda, když víme, kolik má řádků a sloupců:

Násobení využíváme v matematice i v běžném životě velice často. Proto se velmi vyplatí naučit se základní násobky zpaměti. Malá násobilka zahrnuje vzájemné součiny čísel od 1 do 10. Ty můžeme přehledně vyjádřit tabulkou malé násobilky:

Při písemném násobení postupujeme následovně:

• Čísla si napíšeme pod sebe, zarovnaná doprava.
• Postupně jednotlivými ciframi spodního čísla pronásobíme celé horní číslo.
• Výsledky dílčích násobení zapisujeme na řádky pod sebe. Výsledky odsazujeme podle pozice cifry, kterou jsme násobili.
• Nakonec všechny dílčí výsledky sečteme (viz postup pro sčítání pod sebou).

Obrázek ukazuje příklad násobení čísel 79 a 68.

Když mám 8 jablíček a chci je rozdělit rovnoměrně do 4 košíků, kolik jablíček bude v každém košíku? Této otázce v matematice odpovídá dělení:

Zbytek po dělení je početní operace související s celočíselným dělením. Pokud dělíme a:b, pak můžeme psát a = k\cdot b + z, přičemž 0 \leq z < b. Číslo k nazýváme podíl, číslo z zbytek. Operace dělení se zbytkem se v matematice nazývá též modulo.

Příklad: 11:4 dává podíl 2 a zbytek 3, protože 11 = 2\cdot 4 + 3. Pokud mám 11 jablek a rozdělím je rovnoměrně do 4 košíků, v každém košíku budou 2 jablka a ještě mi 3 zbydou.

Další příklady:

• 17:5 dává zbytek 2, protože 17 = 3\cdot 5 + 2.
• 21:6 dává zbytek 3, protože 21 = 3\cdot 6 + 3.
• 12:7 dává zbytek 5, protože 12 = 1\cdot 7 + 5.
• 4:6 dává zbytek 4, protože 4 = 0\cdot 6 + 4.

Zde jsou zajímavé úlohy, na kterých si můžete zábavnou formou procvičit operace násobení a dělení a také svou schopnost logicky přemýšlet a naplánovat si správný postup.

Výrazy vyhodnocujeme v tomto pořadí:

1. závorky,
2. násobení a dělení,
3. sčítání a odčítání.

Pokud se ve výrazu vyskytují operace na stejné úrovni, provádějí se zleva doprava. Pokud jsou ve výrazu závorky v několika úrovních, postupujte vždy od vnitřních po vnější závorky.

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

• Počítání se závorkami: zadání
• Počítání se závorkami: řešení

Pod tímto tématem najdete zábavné úlohy a hříčky na procvičení základních operací (sčítání, odčítání, násobení a dělení). Řešení následujících úkolů potrénuje také vaši schopnost logicky myslet a plánovat si správný postup.

Kladná čísla představují množství nebo růst (například počet jablek nebo příjmy), zatímco záporná čísla vyjadřují nedostatek nebo pokles (například snězená jablka nebo výdaje).

Procvičování práce s kladnými a zápornými čísly je rozděleno na několik podtémat:

• Porovnávání kladných a záporných čísel – například -2 < 3 nebo 5 > -1
• Číselná osa: kladná a záporná čísla – umístění kladných a záporných čísel na číselnou osu, což nám pomáhá řešit ostatní úkoly
• Počítání se zápornými čísly – například -3 + 5 = 2 nebo 4 - (-6) = 10
• Výrazy s absolutní hodnotou – příklady pracující s absolutní hodnotou, která udává vzdálenost čísla od nuly, například |-4| = 4

Číselná osa je přímka znázorňující čísla. Značkami jsou na ní vyznačená vybraná čísla – většinou celá čísla. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme.

Tradičně se na číselné ose píší menší čísla vlevo, větší čísla vpravo. Záporná čísla jsou tedy vlevo od nuly. Příklad číselné osy s vyznačenými hodnotami 7 a -7:

Při počítání se zápornými čísly často používáme princip „mínus a mínus dává plus“. Konkrétní příklady:

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

• Počítání se zápornými čísly: zadání
• Počítání se zápornými čísly: řešení

Absolutní hodnota čísla je jeho vzdálenost od nuly. Absolutní hodnotu čísla x značíme pomocí svislých čar: |x|.

Příklady:

• |5| = 5
• |-5| = 5
• |-13| = 13
• |2{,}45| = 2{,}45

Pro kladné x je |x|=x, pro záporné x je |x| = -x.

Při vyhodnocování výrazů, ve kterých se vyskytuje absolutní hodnota, nejdříve vyhodnotíme výraz uvnitř svislých čar (podobně jako u závorek) a pak aplikujeme samotnou absolutní hodnotu:

• 3 + |4-6| = 3 + |-2| = 3+2=5
• 5-3 \cdot |4-2| = 5 -3\cdot|2| = 5 -3\cdot2 = 5 - 6 = -1

Dáváme pozor na rozdíl mezi kulatou závorkou (která pouze vyznačuje přednost operací) a svislými čárami (které značí absolutní hodnotu):

• 3+(-2) = 3 - 2 = 1
• 3+|-2| = 3 + 2 = 5

Také dáváme dobrý pozor, kde se vyskytují znamínka mínus (před versus za svislou čárou):

• |-4| = 4
• -|4| = -4
• |-3-2| = |-5| = 5
• -|3-2| = -|1| = -1

Dělitelnost se zabývá určováním, zda jedno číslo je dělitelné druhým bez zbytku. Například číslo 24 je dělitelné číslem 6, ale není dělitelné číslem 7.

Sudost a lichost odpovídá dělitelnosti číslem 2, jde o nejjednodušší případ dělitelnosti.

Podmínky dělitelnosti nám pomáhají určit, zda je jedno číslo dělitelné jiným číslem bez toho, abychom prováděli samotné dělení. Například číslo je dělitelné 3, pokud je jeho ciferný součet dělitelný 3. Abychom tedy poznali, že číslo 513 je dělitelné číslem 3, stačí si všimnout, že ciferný součet (5+1+3=9) je dělitelný 3 a nemusíme provádět dělení 513:3.

Prvočísla jsou čísla větší než 1, která mají pouze dva dělitele: jedničku a sama sebe. Prvočísla jsou základními stavebními kameny ostatních čísel ve smyslu jejich dělitelnosti.

Největší společný dělitel je největší číslo, kterým jsou dvě nebo více čísel beze zbytku dělitelná. Společný dělitel hraje klíčovou roli při zjednodušování zlomků a řešení rovnic.

Nejmenší společný násobek je nejmenší číslo, které je násobkem dvou nebo více čísel. Společný násobek se často používá při práci se zlomky.

Dělitelnost je základem pro mnoho konceptů v matematice a má bohaté využití například v moderní kryptologii (šifrování).

Sudá čísla jsou celá čísla, která jsou beze zbytku dělitelná dvěma. Sudá čísla končí cifrou 0, 2, 4, 6 nebo 8. Příklady sudých čísel jsou 138, 12, 0, 9356, -34, 6.

Lichá čísla jsou celá čísla, která po dělení dvěma dávají zbytek jedna. Lichá čísla končí cifrou 1, 3, 5, 7 nebo 9. Příklady lichých čísel jsou 15, 891, -7, 1, 95.

Číslo a je dělitelné nenulovým celým číslem b právě tehdy, když a je celočíselným násobkem b, tj. a = k\cdot b. Jinými slovy: číslo a dává po dělení číslem b zbytek 0. Příklady:

• Číslo 15 je dělitelné číslem 5, protože 15 = 3\cdot 5.
• Číslo 25 není dělitelné číslem 4, protože 25 = 6\cdot 4 + 1 (zbytek není nulový).

Pro některé dělitele můžeme dělitelnost rozpoznat poměrně snadno:

Prvočíslo je přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné pouze jedničkou a sebou samým.

Složené číslo je přirozené číslo větší než 1, které není prvočíslem, tj. má i jiného dělitele než jedničku a sebe samého.

Příklady:

• 6 je složené číslo, protože je dělitelné například číslem 2.
• 7 je prvočíslo, protože je dělitelné pouze čísly 1 a 7.
• 13 je prvočíslo, protože je dělitelné pouze čísly 1 a 13.
• 15 je složené číslo, protože je dělitelné například číslem 3.

Podle výše uvedené definice není číslo 1 prvočíslo ani složené číslo. To je běžná matematická konvence, protože to vede k elegantnější formulaci různých matematických výsledků. Existují ale i jiné přístupy k pojetí prvočíselnosti jedničky (vesměs historické).

Prvočísel je nekonečně mnoho. Prvočísla menší než 100 jsou: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Každé číslo lze rozložit jednoznačně na prvočíselný rozklad, např.

• 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3
• 30 = 2 \cdot 3\cdot 5
• 1638 = 2 \cdot 3^2\cdot 7\cdot 13

Největší společný dělitel (NSD) dvou celých čísel je největší číslo, které beze zbytku dělí obě čísla. Příklady: NSD(18, 24) = 6, NSD(12, 21) = 3, NSD(24, 35) = 1. Pojem největšího společného dělitele lze zobecnit i na větší počet vstupních čísel. Například NSD(30, 85, 90) = 5. Typickým využitím největšího společného dělitele je krácení zlomků.

• Pokud největší společný dělitel dvou čísel je 1, nazýváme je nesoudělná. Například čísla 15 a 32 jsou nesoudělná.
• Pokud je největší společný dělitel větší než 1, jde o čísla soudělná. Například čísla 20 a 24 mají největší společný dělitel 4, tedy jsou soudělná.

Pro malá čísla můžeme největšího společného dělitele určit tak, že si prostě vypíšeme všechny dělitele.

Pro větší čísla můžeme největšího společného dělitele určit pomocí prvočíselného rozkladu. Obě čísla rozepíšeme jako součin prvočísel, výsledný NSD je součin prvočísel vyskytujících se v obou rozkladech umocněných na příslušné nejmenší exponenty.

Pro praktické výpočty se používají jiné algoritmy, především Euklidův algoritmus.

Nejmenší společný násobek (NSN) dvou celých čísel je nejmenší číslo, které je beze zbytku dělitelné oběma čísly. Příklady: NSN(12, 15) = 60, NSN(6, 8) = 24, NSN(3, 15) = 15. Pojem nejmenšího společného násobku lze zobecnit i na větší počet vstupních čísel. Například NSN(2, 3, 4) = 12. Typické využití nejmenšího společného násobku je při převodu zlomků na společného jmenovatele při sčítání zlomků.

Pro malá čísla můžeme nejmenší společný násobek najít tak, že si vypíšeme několik prvních násobků od obou čísel.

Pro větší čísla můžeme nejmenší společný násobek nalézt pomocí prvočíselného rozkladu. NSN je roven součinu všech prvočísel, které se vyskytují alespoň v jednom rozkladu (v nejvyšší mocnině, v jaké se vyskytují).

Nejmenší společný násobek lze vypočítat také pomocí největšího společného dělitele (NSD): \mathit{NSN}(a, b) = \frac{a\cdot b}{\mathit{NSD}(a, b)}

Umocňování je opakované násobení. Například 3^5 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 243. Odmocňování je opačnou operací k umocňování. Například druhá odmocnina z 36 je 6 (\sqrt{36}=6), protože 6^2 = 6\cdot 6 = 36. Mocniny a odmocniny využíváme v mnoha oblastech matematiky, například při práci s mnohočleny, řešení kvadratických rovnic, výpočtu obsahu a objemu nebo při určování délek stran v trojúhelníku.

Prvním krokem pro zvládnutí tohoto tématu jsou základní mocniny a odmocniny, kde pracujeme s malými, přirozenými čísly. Pro tato čísla se vyplatí se naučit základní mocniny a odmocniny zpaměti, protože na ně často v matematice narazíme.

Jako další krok potřebujeme zvládnout pracovat s výrazy s mocninami a odmocninami.

Umocňování je možné definovat i pro záporný mocnitel. Tento způsob umocňování se využívá pro vědecký zápis čísel, který nám umožňuje přehledně pracovat s velmi velkými či velmi malými čísly, díky čemuž má hojné využití ve fyzice.

Umocňování a odmocňování můžeme přirozeně používat i ve spojitosti se zlomky a desetinnými čísly.

Mocniny jsou zkráceným zápisem opakujícího se násobení. Příklady:

• 3^2 = 3\cdot 3 = 9
• 2^3 = 2\cdot 2 \cdot 2= 8
• 5^4 = 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 625

Při umocňování záporných čísel je výsledek kladný pro sudé mocniny, záporný pro liché mocniny.

• (-3)^2 = (-3)\cdot (-3) = 9
• (-3)^3 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = -27
• (-3)^4 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = 81

Nultá mocnina jakéhokoliv čísla je 1 (např. 5^0=1, 564^0=1). Nula umocněna na libovolné číslo je 0 (např. 0^3 = 0\cdot 0\cdot 0 = 0). Což vede na zajímavou otázku: Čemu se rovná 0^0?

Odmocňování v matematice je částečně inverzní (opačnou) operací k umocňování. Druhá odmocnina z čísla x je takové nezáporné číslo a, pro které platí a^2 = x. Druhou odmocninu značíme \sqrt{x}.

Obecně pak n-tá odmocnina z x je takové číslo a, pro které platí a^n = x, n-tou odmocninu značíme \sqrt[n]{x}.

Odmocňování má i geometrický význam. Pokud máme čtverec o obsahu S, pak tento čtverec má délku strany rovnou druhé odmocnině \sqrt{S}. Pokud máme krychli o objemu V, pak tato krychle má délku hranu rovnou třetí odmocnině \sqrt[3]{V}. Odmocniny hojně využijeme například při aplikaci Pythagorovy věty.

Graf funkce odmocnina

Odmocnina a záporná čísla

Když hledáme odmocninu třeba z 25, tak hledáme číslo, které po umocnění dá 25. To splňuje 5\cdot 5, ale také (-5)\cdot (-5). Odmocnina je však definována jako nezáporné číslo, takže \sqrt{25} = 5.

Druhou odmocninu můžeme počítat pouze z kladných čísel, protože jakékoliv číslo umocněné na druhou je kladné. Odmocnina ze záporných čísel není definována. Nebo vlastně je, ale to musíme zavést komplexní čísla (což je velice zajímavý a užitečný nástroj, ale trochu pokročilý a ten tu nebudeme rozebírat).

Pro běžná reálná čísla můžeme počítat odmocniny ze záporných čísel pro liché stupně n.

Pro mocniny platí následující vztahy:

• x^0 = 1
• x^a \cdot x^b = x^{a+b}
• x^a : x^b = x^{a-b}
• (x^a)^b = x^{a\cdot b}
• (x\cdot y)^a = x^a\cdot y^a

Konkrétní příklady, která názorně ilustrují, proč uvedené vztahy platí:

• 7^3\cdot 7^2 = (7\cdot 7\cdot7) \cdot (7\cdot 7) = 7^{3+2} = 7^5
• 6^4: 6^2 = (6\cdot 6\cdot 6\cdot 6) : (6\cdot 6) = 6^{4-2} = 6^2
• (5^3)^2 = (5\cdot 5\cdot 5)^2 = (5\cdot 5\cdot 5) \cdot (5\cdot 5\cdot 5) = 5^{3\cdot 2} = 5^6
• (7\cdot 8)^3 = (7\cdot 8) \cdot (7\cdot 8) \cdot (7\cdot 8) = (7\cdot 7\cdot 7) \cdot (8\cdot 8\cdot 8) = 7^3 \cdot 8^3

Pro odmocniny platí následující vztahy (předpokládáme x, y > 0):

• \sqrt{0} = 0
• \sqrt{1} = 1
• \sqrt{x}\cdot \sqrt{x} = x
• \sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}
• \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
• \sqrt[n]{x^k} = x^{\frac{k}{n}}
• \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n\cdot m]{x}

Příklady:

• \sqrt{24} = \sqrt{4\cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}
• \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3
• \sqrt[3]{5^6} = 5^\frac63 = 5^2 = 25

Mocnina se záporným exponentem odpovídá převrácené hodnotě příslušné mocniny s kladným exponentem. Tedy x^{-n} = \frac{1}{x^n}. Toto pravidlo je důsledkem vlastnosti násobení x^n\cdot x^m = x^{n+m}. Musí tedy platit x^{-n} \cdot x^n = x^{-n+n} = x^0 = 1.

Příklady:

• 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5
• 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25
• 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = 0,01
• 0,5^{-1} = 2^1 = 2

Vědecký zápis čísel je zápis čísel pomocí součinu m\cdot 10^n, kde m je reálné číslo (mantisa) a 10^n je mocnina desítky. Tento zápis čísel je užitečný zejména při práci s velmi velkými nebo velmi malými čísly. Například hmotnost Země je přibližně 5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg, což je daleko přehlednější v zápisu 5{,}97\cdot 10^{24} kg. Příklady:

Umocňování a odmocňování zlomku

Při umocňování (odmocňování) zlomku prostě umocníme (odmocníme) čitatele i jmenovatele:

• \large(\frac{2}{3}\large)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}

• \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

• \large(\frac{4}{5}\large)^{-1} = \frac{4^{-1}}{5^{-1}} = \frac{5}{4} (umocňování na -1 odpovídá prohození čitatele a jmenovatele)

Umocňování na zlomek

Umocňování na zlomek odpovídá tomu, že vezmeme mocninu podle čitatele a odmocninu podle jmenovatele, tj. x^\frac{a}{b} = \sqrt[b]{x^a}. Příklady:

• 2^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} = 1{,}587\ldots

• 4^\frac{1}{2} = \sqrt{4^1} = 2

• 81^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27

Definice a využití logaritmu

Logaritmus je inverzní operace k umocňování. Logaritmus kladného čísla x při základu a je takové reálné číslo y = \log_a(x), pro které platí a^y = x. Číslo a se nazývá základ logaritmu (báze). Procvičením této základní definice se zabývá téma Logaritmus: výpočet.

Logaritmus o základu e=2{,}71828182... (Eulerovo číslo) se nazývá přirozený logaritmus a značí se většinou \ln. Logaritmus o základu 10 se nazývá dekadický logaritmus (a někdy se značí \mathit{lg}).

Logaritmy mají velmi široké využití v mnoha oblastech matematiky. Historicky se využívaly jako užitečná početní pomůcka („logaritmické pravítko“), která využívala faktu, že logaritmus součinu je součet logaritmů. Dnes na logaritmy často narazíme například v informatice při návrhu a analýze algoritmů.

Vlastnosti logaritmů

Při práci s logaritmy, například při práci na tématu Výrazy s logaritmy, často využijeme následující vlastnosti logaritmů:

• Logaritmus je definován pouze pro kladná čísla.
• Logaritmus o základu 1 není definován.
• Logaritmus jedničky je nula, \log_a(1)=0.
• Logaritmus o stejném základu a argumentu je 1, \log_a{a}=1.
• Logaritmus součinu je součet logaritmů, \log_a(x\cdot y)=\log_a{x}+\log_a{y}.
• Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů, \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a{x}-\log_a{y}.
• Logaritmus je inverzní funkcí k exponenciální funkci o stejném základu, \log_a{x}=y \Leftrightarrow a^y=x.
• Logaritmus mocniny je součin exponentu a logaritmu základu mocniny, \log_a(x^n)=n\log_a{x}.

Graf logaritmu

Graf zobrazuje logaritmus o základu 2:

Podrobněji se grafy logaritmu zabývá téma Grafy exponenciálních a logaritmických funkcí.

Logaritmus kladného čísla x při základu a je takové reálné číslo y = \log_a(x), pro které platí a^y = x. Příklady:

Některé základní vlastnosti logaritmů vyjádřené pomocí vzorců:

• \log_a(a)=1
• \log_a(1)=0
• \log_a(x\cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y) (logaritmus součinu je součet logaritmů)
• \log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y) (logaritmus podílu je rozdíl logaritmů)
• \log_a(x^k)=k\log_a(x)
• \log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}

Logaritmická rovnice je taková, kde neznámá vystupuje jako argument logaritmické funkce, např. 2 \cdot \log_6(x-2) = \log_6(14-x).

U logaritmických rovnic musíme dávat pozor na podmínky řešení. Argument každého logaritmu totiž musí být vždy kladné číslo. V uvedeném příkladě tedy musí platit x-2>0 a současně 14-x > 0.

Logaritmické rovnice řešíme za využití vlastností logaritmické funkce a jejího vztahu k exponenciální funkci. Dílčí způsoby, jak řešit logaritmické rovnice:

• Převedeme rovnici na tvar \log_a f(x) = c. Pak musí platit f(x) = a^c.
• Převedeme rovnici na tvar \log_a f(x) = \log_a g(x). Pak musí platit f(x) = g(x).

Grafy exponenciálních funkcí

Grafem exponenciální funkce je křivka jménem exponenciála. Na obrázku jsou grafy exponenciálních funkcí se základy 2 a e = 2{,}7 182 818 284\ldots. Vidíme také, že grafy funkcí e^x a e^{-x} jsou spolu souměrné podle osy y.

Efekt přičtení konstanty k exponenciální funkci

Efekt přičtení konstanty k exponentu

Efekt vynásobení exponenciální funkce konstantou

Efekt vynásobení exponentu konstantou

Grafy logaritmických funkcí

Logaritmická funkce je inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Grafy dvou navzájem inverzních funkcí jsou osově souměrné podle osy prvního kvadrantu (tj. přímky splňující x=y).

Na obrázku vidíme grafy logaritmických funkcí s různými základy 2, e, 10.

Značení některých význačných logaritmických funkcí:

Efekt přičtení konstanty k logaritmické funkci

Efekt přičtení konstanty k argumentu logaritmické funkce

Efekt vynásobení logaritmické funkce konstantou

Efekt vynásobení argumentu logaritmické funkce konstantou

Číselná osa je přímka znázorňující čísla. Značkami jsou na ní vyznačená vybraná čísla – většinou celá čísla. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme. Jednoduchý příklad číselné osy, na které hledáme číslo 7:

Na základní číselné ose mají značky rozestup jedna. To však zdaleka neplatí vždy. Kdykoliv pracujeme s číselnou osou, musíme si nejdříve ujasnit, jaký je rozestup mezi značkami. To určíme na základě popisků. V následujícím příkladě je rozestup 10:

Číselná osa je přímka znázorňující čísla. Značkami jsou na ní vyznačená vybraná čísla – většinou celá čísla. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme.

Tradičně se na číselné ose píší menší čísla vlevo, větší čísla vpravo. Záporná čísla jsou tedy vlevo od nuly. Příklad číselné osy s vyznačenými hodnotami 7 a -7:

Zlomek můžeme na číselnou osu umístit tak, že ho převedeme na desetinné číslo (vydělíme prostě čitatele jmenovatelem) a pak postupujeme stejně jako u desetinných čísel. Například \frac{6}{5} = 1{,}2, tj. zlomek \frac{6}{5} leží dvě desetiny za jedničkou. Další příklady:

Zlomky menší než 1 můžeme umisťovat na číselnou osu také přímo (bez převodu na desetinné číslo) díky představě „část z celku“. Pokud máme umístit zlomek \frac{3}{7}, představíme si, jak bychom rozdělili úsečku od 0 po 1 na sedm stejných dílků. Zlomek \frac{3}{7} pak umístíme na třetí pozici.

Hodí se vybudovat si dobrou představu zejména pro zlomky s malým jmenovatelem:

Číselná osa znázorňuje čísla. Čísla jsou na ní vyznačena značkami. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme. Číselnou osu si můžeme představit jako procházku. Začínáme na startu, kterým je číslo nula, a každý krok vede na novou značku s novým číslem.

Jednoduchý příklad číselné osy, na které hledáme číslo 7:

Podobně jako na jiných číselných osách, první krok je určit, jaké jsou rozestupy mezi značkami na číselné ose. Při práci s desetinnými čísly bývá často rozestup 0,1 (jedna desetina), ale nemusí to tak být nutně.

Příklad: