Zlomky, procenta, desetinná čísla

Zlomky, procenta a desetinná čísla na první pohled vypadají úplně jinak, nicméně spolu úzce souvisí – umožňují nám vyjadřovat části celku.

• Zlomky – zápis části z celku pomocí čitatele a jmenovatele, např. \frac{1}{2}
• Procenta – vyjadření jako část ze sta, např. 50 %
• Desetinná čísla – zápis čísel za využití desetinné čárky, např. 0,5

Společně nám tyto pojmy umožňují lépe rozumět matematice v každodenním životě, třeba správně rozumět slevám v obchodech.

Zlomky jsou způsobem, jak vyjádřit část celku pomocí čitatele a jmenovatele. Často se s nimi setkáváme nejen v matematice, ale také v běžném životě, např. když po oslavě zbyde \frac13 dortu, na výletě jste urazili \frac78 cesty nebo když na vás při dělbě práce vyjdou \frac25 umývání nádobí (což asi není zrovna spravedlivé, pokud jste na práci čtyři).

Zlomky nám pomáhají nejen při dělení jídla nebo výpočtech práce, ale také v geometrii, kde je třeba počítat části obrazců, nebo v algebře při práci s výrazy. Umění pracovat se zlomky je důležité pro pochopení dalších matematických oblastí, jako jsou desetinná čísla, procenta, poměry nebo rovnice.

Práce se zlomky je rozsáhlá oblast, kterou pro přehlednost dělíme na několik témat:

• Zlomky: základy – poznávání a porovnávání zlomků, umístění zlomků na číselné ose, práce se smíšenými čísly
• Výpočty se zlomky – základní operace se zlomky (krácení, sčítání, odčítání, násobení a dělení), převody mezi zlomky, procenty a desetinnými čísly
• Pokročilé počítání se zlomky – složitější operace zahrnující algebraické výrazy se zlomky, rovnice se zlomky, mocniny a odmocniny

Zlomky zapisujeme ve tvaru \frac{a}{b}, kde a se nazývá čitatel a b jmenovatel. Aby měl zlomek smysl, nesmí být jmenovatel nula. Význam zlomku odpovídá dělení. Příklad: ve zlomku \frac32 je čitatelem číslo 3 a jmenovatelem číslo 2, hodnota zlomku \frac32 se rovná dělení 3:2 = 1{,}5 („jedna a půl“).

Zlomek \frac{a}{b} je v základním tvaru, pokud jsou čísla a, b nesoudělná (tj. jejich jediný kladný společný dělitel je číslo 1). Na základní tvar převádíme zlomky pomocí krácení. Příklady:

• Zlomek \frac64 není v základním tvaru, protože čísla 6 a 4 jsou soudělná – mají společného dělitele 2, kterým jde zlomek krátit, čímž dostáváme základní tvar \frac32.
• Zlomek \frac34 je v základním tvaru, protože čísla 3 a 4 jsou nesoudělná.

Základy práce se zlomky si můžete procvičit v těchto tématech:

• Poznávání zlomků
• Zlomky na číselné ose
• Porovnávání zlomků
• Smíšená čísla

Zlomky vyjadřují „části z celku“. Můžeme je graficky vyjádřit mnoha způsoby:

Kromě níže uvedených interaktivních cvičení je k dispozici také pracovní list – materiál určený k vytištění a rozstříhání:

• Pracovní list: Zlomky a útvary

Zlomek můžeme na číselnou osu umístit tak, že ho převedeme na desetinné číslo (vydělíme prostě čitatele jmenovatelem) a pak postupujeme stejně jako u desetinných čísel. Například \frac{6}{5} = 1{,}2, tj. zlomek \frac{6}{5} leží dvě desetiny za jedničkou. Další příklady:

Zlomky menší než 1 můžeme umisťovat na číselnou osu také přímo (bez převodu na desetinné číslo) díky představě „část z celku“. Pokud máme umístit zlomek \frac{3}{7}, představíme si, jak bychom rozdělili úsečku od 0 po 1 na sedm stejných dílků. Zlomek \frac{3}{7} pak umístíme na třetí pozici.

Hodí se vybudovat si dobrou představu zejména pro zlomky s malým jmenovatelem:

Než se pustíme do porovnávání zlomků, je dobré mít jasno v tom, co je čitatel („to nahoře“) a jmenovatel („to dole“). Ve zlomku \frac{3}{7} je 3 čitatel, 7 jmenovatel.

Porovnávání zlomků se stejným jmenovatelem

Porovnávání zlomků se stejným jmenovatelem je jednoduché: stačí prostě porovnat čitatele. Pokud například porovnáváme zlomky \frac{3}{7} a \frac{5}{7}, je větší druhý zlomek. Oba zlomky vyjadřují sedminy z celku a je prostě víc, když máme sedmin pět.

Porovnávání zlomků se stejným čitatelem

Pokud mají zlomky stejného čitatele, pak stačí porovnat jmenovatele. V tomto případě je však pořadí zlomků opačné než pořadí jmenovatelů. Pokud porovnáváme třeba zlomky \frac{1}{4} a \frac{1}{5}, je větší jedna čtvrtina: dostanu větší kousek pizzy, pokud se bude dělit mezi 4 lidi, než když se bude dělit mezi 5 lidí.

Odlišný jmenovatel i čitatel

V tomto případě potřebujeme zlomky nejprve převést na společného jmenovatele a teprve následně provést porovnání podle čitatelů. Příklad: porovnání zlomků \frac{2}{3} a \frac{4}{7}. Nejmenší společný jmenovatel je 21, po rozšíření dostáváme dvojici zlomků \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21} a \frac{4}{7}=\frac{4\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{12}{21}. Protože 14 > 12, je větší první zlomek, tj. \frac{2}{3}.

Porovnání bez výpočtu

Často můžeme provést porovnání i bez detailního výpočtu, pokud si zlomky správně představíme nebo porovnáme s vhodnou hodnotou „mezi“:

• Zlomky \frac{2}{3} a \frac{7}{6}. První z nich je menší než 1, druhý je větší než 1. Platí tedy \frac{2}{3} < \frac{7}{6}.

• Zlomky \frac{1}{3} a \frac{4}{5}. První z nich je určitě menší než polovina, druhý je výrazně větší než polovina. Platí tedy \frac{1}{3} < \frac{4}{5}.

Pokud je u zlomku jmenovatel větší než čitatel (zlomek je menší než jedna), označuje se zlomek jako pravý. Nepravé zlomky (tedy ty, které jsou větší jak jedna) můžeme zapsat pomocí smíšeného čísla. Smíšené číslo a\frac{b}{c} je zápis součtu a + \frac{b}{c}, kde \frac{b}{c} je kladný zlomek menší než jedna. Příklady:

• 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}
• 2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}

Převod smíšeného čísla na zlomek uděláme na základě pozorování, že jednotku můžeme zapsat jako \frac{c}{c}. Příklad: 3\frac14 = 3\cdot\frac44 + \frac14 = \frac{12}{4}+\frac14 = \frac{13}{4}.

Převod nepravého zlomku na smíšené číslo uděláme pomocí dělení se zbytkem. Celá část smíšeného čísla odpovídá podílu, čitatel zbylého zlomku odpovídá zbytku. Příklad:

• \frac{17}{3} = 5\frac23, protože 17:3 je 5 a zbytek 2.
• \frac{15}{7}= 2\frac17, protože 15:7 je 2 a zbytek 1.

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

• Smíšená čísla: zadání
• Smíšená čísla: řešení

Základní výpočty se zlomky jsou následující:

Krácení zlomků

• Zlomky se krátí tak, že čitatel i jmenovatel vydělíme jejich společným dělitelem.
• Zlomek \frac{9}{12} můžeme zkrátit na \frac{3}{4}, protože čitatel i jmenovatel mají společný dělitel 3.

Sčítání a odčítání zlomků

• Pro sčítání a odčítání zlomků je nutné převést zlomky na společný jmenovatel.
• \frac{1}{4} + \frac{1}{6} převedeme na společný jmenovatel 12 a dostaneme \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}.

Násobení a dělení zlomků

• Násobení se provádí tak, že vynásobíme čitatele i jmenovatele mezi sebou.
• \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
• Dělení se provádí násobením převráceného zlomku.
• \frac{2}{3} : \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{9}

Zlomky a procenta

• Převod zlomku na procenta se provádí pomocí násobení 100.
• \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75 \%

Zlomky a desetinná čísla

• Zlomky převedeme na desetinná čísla tak, že čitatele vydělíme jmenovatelem. Naopak desetinné číslo lze převést na zlomek pomocí roznásobení mocninami desítky.
• \frac{2}{5} = 2 : 5 = 0{,}4
• 0{,}25 = 0{,}25 \cdot\frac{100}{100} = \frac{25}{100}, což po zkrácení dává \frac{1}{4}

Kombinace operací se zlomky

• Zadání kombinující různé aritmetické operace se zlomky.

Stejnou hodnotu můžeme vyjádřit mnoha zlomky, například \frac23 = \frac46 = \frac{10}{15} = \frac{200}{300}. Jen jedno možné vyjádření ovšem považujeme za základní tvar. Zlomek je v základním tvaru, pokud jsou čitatel a jmenovatel nesoudělní, tj. nemají žádného společného dělitele kromě jedničky. V uvedeném příkladě je v základním tvaru zlomek \frac23.

Jako krácení zlomku se označuje operace, kdy čitatele i jmenovatele vydělíme stejným, nenulovým číslem. Krácení zachovává hodnotu zlomku. Pokud chceme zlomek převést do základního tvaru, krátíme největším společným dělitelem čitatele a jmenovatele.

Opačnou operací je rozšíření zlomku, kdy čitatele i jmenovatele vynásobíme stejným nenulovým číslem. Rozšíření zlomku se používá při sčítání a odčítání zlomků.

Než se pustíme do sčítání zlomků, je dobré mít jasno v tom, co je čitatel („to nahoře“) a jmenovatel („to dole“). Ve zlomku \frac{3}{7} je 3 čitatel, 7 jmenovatel.

Sčítání zlomků se stejným jmenovatelem

Pokud mají sčítané zlomky stejného jmenovatele, stačí prostě sečíst čitatele. Jmenovatele necháme stejného, tedy \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.

Sčítání zlomků s různými jmenovateli

Pokud mají sčítané zlomky různého jmenovatele, musíme je nejprve rozšířit tak, aby měly stejného jmenovatele. Nejvýhodnější je rozšířit zlomky na nejmenší společný násobek původních jmenovatelů. Jakmile mají zlomky stejného jmenovatele, sečteme je výše uvedeným postupem.

Úpravy a odčítání

Výsledný zlomek většinou ještě krátíme, abychom dostali výsledek v základním tvaru. Odčítání zlomků funguje stejným způsobem.

Příklady

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

• Sčítání a odčítání zlomků: zadání
• Sčítání a odčítání zlomků: řešení

Násobení zlomků si můžeme představit skrze čokoládu. Pokud násobíme \frac45\cdot \frac23 je to jako bychom brali čtyři z pěti sloupečků a dva ze tří řádků. Kolik čtverečků čokolády takto vezmeme? Osm z patnácti, tedy \frac{8}{15}.

Při násobení zlomků tedy prostě vynásobíme čitatele prvního zlomku a čitatele druhého zlomku a dostaneme výsledný čitatel, podobně pro jmenovatele: \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}. Pokud si chceme ušetřit násobení velkých čísel, můžeme zlomky krátit, a to i „do kříže“.

Dělení zlomků je to stejné jako násobení převráceným zlomkem: \frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}.

Převod procent na zlomek v základním tvaru

Jedno procento je to stejné jako jedna setina, tj. \frac{1}{100}. Vynásobíme tedy číslo (udávající procenta) zlomkem \frac{1}{100} a následně zlomek vykrátíme (pomocí dělení největším společným dělitelem) na základní tvar. Příklady:

• 45\ \% = 45 \cdot \frac{1}{100} = \frac{45}{100} = \frac{5\cdot 9}{5\cdot 20}= \frac{9}{20}
• 12\ \% = 12 \cdot \frac{1}{100} = \frac{12}{100} = \frac{4\cdot 3}{4\cdot 25}= \frac{3}{25}

Převod zlomku na procenta

Chceme zlomek \frac{a}{b} vyjádřit jako p\ \%. Protože jedno procento je jedna setina, musí tedy platit \frac{a}{b} = \frac{p}{100}. Takže p = \frac{a}{b}\cdot 100. Stačí tedy zlomek vynásobit číslem 100. Příklady:

• \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \cdot 100\ \% = \frac{200}{5}\ \% = 40\ \%
• \frac{3}{20} = \frac{3}{20} \cdot 100\ \% = \frac{300}{20}\ \% = 15\ \%

Převod desetinného čísla na zlomek

Desetinné číslo roznásobíme pomocí mocniny desítky tak, abychom se „zbavili“ desetinné čárky. Následně zlomek vykrátíme (největším společným dělitelem), abychom dostali zlomek v základním tvaru. Příklady:

• 1{,}5 = 1{,}5\cdot \frac{10}{10} = \frac{1{,}5\cdot 10}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

• 1{,}25 = 1{,}25 \cdot \frac{100}{100} = \frac{1{,}25\cdot 100}{100} = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}

Počítání nám může usnadnit, když si zapamatujeme některé užitečné převody, s jejichž pomocí vhodné úvahy vyřešit i další příklady:

• 0{,}01 = \frac{1}{100}

• 0{,}1 = \frac{1}{10}

• 0{,}2 = \frac{1}{5}

• 0{,}25 = \frac{1}{4}

• 0{,}333\ldots = \frac{1}{3}

• 0{,}5 = \frac{1}{2}

Převod zlomku na desetinné číslo

Význam zlomku je prostě podíl čitatele a jmenovatele. Zlomek tedy vyjádříme jako desetinné číslo prostě tak, že podělíme čitatele jmenovatelem (může se hodit postup pro „dělení pod sebou“). Příklady:

• \frac{3}{4} = 3:4 = 0{,}75

• \frac{6}{5} = 6:5 = 1{,}2

• \frac{3}{20} = 3:20 = 0{,}15

Umocňování a odmocňování zlomku

Při umocňování (odmocňování) zlomku prostě umocníme (odmocníme) čitatele i jmenovatele:

• \large(\frac{2}{3}\large)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}

• \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

• \large(\frac{4}{5}\large)^{-1} = \frac{4^{-1}}{5^{-1}} = \frac{5}{4} (umocňování na -1 odpovídá prohození čitatele a jmenovatele)

Umocňování na zlomek

Umocňování na zlomek odpovídá tomu, že vezmeme mocninu podle čitatele a odmocninu podle jmenovatele, tj. x^\frac{a}{b} = \sqrt[b]{x^a}. Příklady:

• 2^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} = 1{,}587\ldots

• 4^\frac{1}{2} = \sqrt{4^1} = 2

• 81^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27

Úpravy výrazů se zlomky provádíme stejnými základními postupy jako ostatní úpravy výrazů, pouze při tom používáme navíc operace specifické pro zlomky, např. krácení zlomků, sčítání a odčítání zlomků, násobení a dělení zlomků. Příklady úprav:

Rovnice se zlomky řešíme stejnými postupy jako základní rovnice, pouze při tom používáme operace se zlomky.

Často se můžeme operacím se zlomky vyhnout tak, že celou rovnici nejprve roznásobíme společným násobkem všech jmenovatelů zlomků.

Řešený příklad

Procento (%) je bezrozměrná jednotka vyjadřující jednu setinu celku. Například zápis „42 %“ (42 procent) je to stejné jako zlomek \frac{42}{100} nebo desetinné číslo 0,42.

Promile (‰) je jedna desetina procenta, tedy jedna tisícina celku.

Základní využití procent je pro vyjádření části celku, například:

• jaká část obyvatel pracuje v zemědělství,
• kolik studentů úspěšně splnilo zkoušku,
• kolik alkoholu obsahuje láhev vína.

Další oblasti využití procent jsou:

• vyjadřování pravděpodobnosti (jaká je šance, že bude zítra pršet),
• finanční vztahy (slevy, úroky),
• zpracování a prezentování statistických dat.

Procvičování tohoto tématu je rozdělené na několik podtémat:

• Procenta: poznávání – základní představa o tom, co různé počty procent znamenají
• Počítání s procenty – výpočty s procenty, např. 70 % z 30 kilometrů, sleva 20 % z 450 Kč
• Zlomky a procenta – vztahy mezi procenty a zlomky, převádění z jednoho zápisu na druhý

Pro dobré ovládnutí procent se hodí vybudovat si základní intuici o tom, co procenta znamenají a jak odpovídají jednotlivé hodnoty grafickému znázornění. Pro některé často se vyskytující hodnoty se hodí zapamatovat si význam zpaměti:

Pro počítání s procenty je nejdůležitější si uvědomit, že procento je jedna setina, tj. \frac{1}{100}. Pokud tedy chceme vypočítat například „15 % z 300“, počítáme takto: 15\ \% \textrm{ z } 300 = \frac{15}{100} \cdot 300 = 15 \cdot 3 = 45.

Pro některá často se vyskytující procenta si můžeme výpočet usnadnit:

• 50 % = jedna polovina, tj. dělíme číslem 2
• 25 % = jedna čtvrtina, tj. dělíme číslem 4
• 10 % = jedna desetina, tj. dělíme číslem 10
• 90 % = bez jedné desetiny

Převod procent na zlomek v základním tvaru

Jedno procento je to stejné jako jedna setina, tj. \frac{1}{100}. Vynásobíme tedy číslo (udávající procenta) zlomkem \frac{1}{100} a následně zlomek vykrátíme (pomocí dělení největším společným dělitelem) na základní tvar. Příklady:

• 45\ \% = 45 \cdot \frac{1}{100} = \frac{45}{100} = \frac{5\cdot 9}{5\cdot 20}= \frac{9}{20}
• 12\ \% = 12 \cdot \frac{1}{100} = \frac{12}{100} = \frac{4\cdot 3}{4\cdot 25}= \frac{3}{25}

Převod zlomku na procenta

Chceme zlomek \frac{a}{b} vyjádřit jako p\ \%. Protože jedno procento je jedna setina, musí tedy platit \frac{a}{b} = \frac{p}{100}. Takže p = \frac{a}{b}\cdot 100. Stačí tedy zlomek vynásobit číslem 100. Příklady:

• \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \cdot 100\ \% = \frac{200}{5}\ \% = 40\ \%
• \frac{3}{20} = \frac{3}{20} \cdot 100\ \% = \frac{300}{20}\ \% = 15\ \%

Desetinné číslo je způsob zápisu čísla pomocí celé části a desetinné části, která je oddělená desetinnou čárkou. Například v zápisu 154,28 je 154 celou částí a 28 desetinnou částí. Na prvním místě za desetinnou čárkou jsou desetiny, na druhém setiny, na třetím tisíciny.

Pro větší přehlednost dělíme procvičování desetinných čísel na několik dílčích témat:

• Desetinná čísla: základy – slovní vyjádření, porovnávání, zaokrouhlování, umístění desetinných čísel na číselné ose
• Výpočty s desetinnými čísly – základní aritmetické operace s desetinnými čísly (sčítání, odčítání, násobení, dělení), převod na zlomky
• Pokročilé počítání s desetinnými čísly – mocniny a odmocniny, rovnice s desetinnými čísly

Pomocí desetinných čísel vyjadřujeme čísla, která nejsou „celá“. Příklad: Pokud rozdělíme 6 koláčů spravedlivě mezi 4 děti, dostane každé dítě „jedna a půl“ koláče, což zapisujeme jako 1,5.

Toto téma se zabývá základním porozuměním desetinným číslům:

• Desetinná čísla slovně – převod mezi slovním pojmenováním a číselným zápisem
• ⁠⁠⁠Porovnávání desetinných čísel – porovnávání kladných i záporných čísel s desetinnou částí
• Zaokrouhlování desetinných čísel – zaokrouhlování čísel na různé počty desetinných míst
• Desetinná čísla na číselné ose – dobrá představa o umístění čísel na číselnou osu pomáhá i s jinými operacemi (např. zaokrouhlování a porovnání)

Navazující téma pak řeší výpočty s desetinnými čísly.

Desetinná čísla můžeme číst mnoha různými způsoby. První je „přímočaré čtení“, kdy pouze místo „čárka“ říkáme „celá“. Desetinnou část můžeme přečíst jako jedno číslo, nebo vyjmenovat po cifrách:

Dále můžeme desetinné číslo přečíst pomocí desetin, setin, tisícin:

Někdy také desetinné číslo můžeme pojmenovat podle zlomku, který mu přísluší:

Při porovnávání desetinných čísel najdeme tu „nejdůležitější“ část, ve které se liší, a podle ní srovnání provedeme. Tedy nejprve porovnáváme celou část. Pokud jsou celé části shodné, porovnáváme desetiny, následně setiny, tisíciny a tak dále. Nezapomeneme též zkontrolovat znaménko, které má stejný vliv jako u celých čísel. Příklady:

• 15{,}3 < 17{,}9987 – liší se celá část, takže pro účely porovnání můžeme desetinná místa zcela ignorovat.

• 0{,}2 > 0{,}17 – celá část je stejná, rozhodujeme tedy podle desetin, kde 2>1. u příkladů tohoto typu se často chybuje, protože to vypadá, že 17 > 2, což je ovšem chybná úvaha. Pro lepší představu si můžeme doplnit nulu zprava: 0{,}20 > 0{,}17.

• 3{,}21 > -3{,}22 – zde vůbec nehrají roli desetinná místa, protože první číslo je kladné a druhé záporné.

• -4{,}2791 < -4{,}2758 – porovnávání provádíme podle cifer na pozici tisícin (9 a 5), výsledek je „naopak“, protože jde o záporná čísla.

Zaokrouhlování desetinných čísel funguje podobně jako zaokrouhlování celých čísel, pouze pracujeme i s částí za desetinnou čárkou. U desetinných čísel je téma zaokrouhlování obzvlášť důležité, protože se mu občas nemůžeme vyhnout – některá čísla v desítkové soustavě totiž nelze přesně zapsat, například \frac{1}{3} = 0{,}3333\ldots, \sqrt{2} = 1{,}4142\ldots, \pi = 3{,}14 159\ldots

Zaokrouhlování na desetiny znamená, že číslo nahradíme nejbližším násobkem čísla 0,1 (tj. číslem s jednou cifrou za desetinnou čárkou). Zaokrouhlování na setiny znamená, že číslo nahradíme nejbližším násobkem čísla 0,01 (tj. číslem s dvěma ciframi za desetinnou čárkou). Podobně zaokrouhlujeme i s vyšší přesností. Stejně jako při zaokrouhlování celých čísel i u desetinných čísel zaokrouhlujeme čísla končící číslicí 5 nahoru. Příklady:

• 3,628 zaokrouhleno na desetiny je 3,6.

• 3,628 zaokrouhleno na setiny je 3,63.

• 12,25 zaokrouhleno na desetiny je 12,3.

• 4,8975 zaokrouhleno na celé číslo je 5.

• 84,15 zaokrouhleno na desítky je 80 (pozor na rozdíl mezi zaokrouhlováním na „desetiny“ a „desítky“).

Podobně jako na jiných číselných osách, první krok je určit, jaké jsou rozestupy mezi značkami na číselné ose. Při práci s desetinnými čísly bývá často rozestup 0,1 (jedna desetina), ale nemusí to tak být nutně.

Příklad:

Toto téma se zabývá aritmetickými operacemi s desetinnými čísly:

Sčítání a odčítání desetinných čísel

• Při sčítání a odčítání desetinných čísel je důležité zarovnat čísla podle desetinné čárky.
• 3{,}75 + 1{,}2 = 4{,}95

Násobení desetinných čísel

• Při násobení desetinných čísel násobíme stejně jako celá čísla a poté správně umístíme desetinnou čárku v závislosti na počtu desetinných míst.
• 1{,}2 \times 3{,}4 = 4{,}08

Dělení desetinných čísel

• Při dělení desetinných čísel se můžeme desetinné části zbavit tak, že dělence i dělitele vynásobíme dostatečně velkou mocninou desítky. Následně pak čísla dělíme stejně jako přirozená čísla.
• 4{,}5 : 1{,}5 = 45 : 15 = 3

Desetinná čísla a zlomky

• Zlomky převedeme na desetinná čísla tak, že čitatele vydělíme jmenovatelem. Naopak desetinné číslo lze převést na zlomek pomocí roznásobení mocninami desítky.
• \frac{2}{5} = 2 : 5 = 0{,}4
• 0{,}25 = 0{,}25 \cdot\frac{100}{100} = \frac{25}{100}, což po zkrácení dává \frac{1}{4}

Kombinace operací s desetinnými čísly

• Zadání kombinující různé aritmetické operace s desetinnými čísly.

Při sčítání a odčítání desetinných čísel postupujeme stejně jako při běžném sčítání a odčítání, pouze musíme mít čísla „zarovnaná“ podle desetinné čárky. Jako vhodná pomůcka (zejména při sčítání a odčítání pod sebou) může být doplnit si nuly zprava, aby obě čísla měla stejný počet cifer za desetinnou čárkou. Příklady:

• 1{,}2+2{,}3 = 3{,}5

• 3{,}457+4{,}2 = 3{,}457+4{,}200 = 7{,}657

• 1{,}3-0{,}8 = 0{,}5

• 0{,}001+0{,}01+0{,}1 = 0{,}001+0{,}010+0{,}100 = 0{,}111

• 2{,}01-0{,}1 = 2{,}01 - 0{,}10 = 1{,}91

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

• Sčítání a odčítání desetinných čísel: zadání
• Sčítání a odčítání desetinných čísel: řešení

Násobení desetinných čísel můžeme udělat následovně: 1) Obě čísla vynásobíme, jako kdyby desetinnou čárku vůbec neměla. 2) Do výsledku umístíme desetinnou čárku tak, aby měl výsledek tolik desetinných míst jako oba činitelé dohromady. Tento postup odpovídá násobení a následnému dělení mocninami desítky. Příklady:

• 5 \cdot 0{,}4 – násobíme 5\cdot 4 = 20, výsledek posuneme o 0+1=1 desetinné místo, dostáváme 2{,}0.

• 2{,}5 \cdot 0{,}05 – násobíme 25\cdot 5=125, výsledek posuneme o 1+2=3 desetinná místa, dostáváme 0,125.

• 0{,}9 \cdot 0{,}8 – násobíme 9\cdot 8=72, výsledek posuneme o 1+1=2 desetinná místa, dostáváme 0,72.

Výsledek je dobré zkontrolovat pomocí rychlého odhadu pomocí zaokrouhlených čísel. Například při násobení 0{,}9 \cdot 0{,}8 jsou oba činitelé „trochu menší než 1“, takže i výsledek by měl být „trochu menší než 1\cdot 1“, při násobení 4{,}92\cdot 3{,}06 můžeme snadno odhadnout, že výsledek by měl být přibližně 5\cdot 3=15.

Při dělení desetinných čísel se můžeme desetinné části snadno zbavit tak, že dělence i dělitele vynásobíme dostatečně velkou mocninou desítky. Následně pak čísla dělíme stejně jako přirozená čísla. Příklady:

• 8:0{,}2 = 80:2 = 40
• 1:0{,}05 = 100:5 = 20
• 2{,}5:2 = 25:20 = 1{,}25

Převod desetinného čísla na zlomek

Desetinné číslo roznásobíme pomocí mocniny desítky tak, abychom se „zbavili“ desetinné čárky. Následně zlomek vykrátíme (největším společným dělitelem), abychom dostali zlomek v základním tvaru. Příklady:

• 1{,}5 = 1{,}5\cdot \frac{10}{10} = \frac{1{,}5\cdot 10}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

• 1{,}25 = 1{,}25 \cdot \frac{100}{100} = \frac{1{,}25\cdot 100}{100} = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}

Počítání nám může usnadnit, když si zapamatujeme některé užitečné převody, s jejichž pomocí vhodné úvahy vyřešit i další příklady:

• 0{,}01 = \frac{1}{100}

• 0{,}1 = \frac{1}{10}

• 0{,}2 = \frac{1}{5}

• 0{,}25 = \frac{1}{4}

• 0{,}333\ldots = \frac{1}{3}

• 0{,}5 = \frac{1}{2}

Převod zlomku na desetinné číslo

Význam zlomku je prostě podíl čitatele a jmenovatele. Zlomek tedy vyjádříme jako desetinné číslo prostě tak, že podělíme čitatele jmenovatelem (může se hodit postup pro „dělení pod sebou“). Příklady:

• \frac{3}{4} = 3:4 = 0{,}75

• \frac{6}{5} = 6:5 = 1{,}2

• \frac{3}{20} = 3:20 = 0{,}15

Rovnice s desetinnými čísly řešíme stejnými postupy jako základní rovnice, pouze při tom máme na paměti pravidla pro sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných čísel. Často si můžeme řešení usnadnit tím, že celou rovnici vynásobíme deseti (případně vyšší mocninou desítky).

Řešený příklad