Geometrické konstrukce

Konstrukční úlohou rozumíme úlohu, ve které chceme sestrojit určitý geometrický útvar (alespoň jeden, případně všechny) splňující dané podmínky. Jinými slovy, pomocí pravítka, kružítka a případně i úhloměru sestrojíme geometrický útvar (trojúhelník, obdélník atd.), pro který známe délky jeho stran, velikosti úhlů či jiné vlastnosti.

Před rýsováním je dobré si ujasnit:

• body značíme velkými písmeny, např bod A
• přímky značíme malými písmeny, např. přímka p

Obvyklé kroky řešení konstrukční úlohy

Náčrtek: Od ruky si nakreslíme obrázek hledaného útvaru se vším, co známe ze zadání. To nám pomůže představit si výsledek. Pro přehlednost můžeme jednotlivé prvky vyznačit barevně. Nezapomeňte, náčrtky děláme velké a přehledné. V obrázku velkém jako blecha nic neuvidíme.

Popis konstrukce: Popis jednotlivých kroků, které musíme udělat, abychom dospěli k výsledku. Popis píšeme proto, aby každý mohl náš postup zopakovat. Z výsledného obrázku to nejde vždy snadno udělat. Pro zápis konstrukce používáme geometrické značení. Popis konstrukce řešíme obvykle až ve vyšších ročnících.

Konstrukce: Jde o samotné rýsování příkladu.

Zkouška správnosti: Měli bychom ověřit, jestli obrázek opravdu splňuje všechny podmínky ze zadání.

Počet řešení (diskuse): Zjistíme počet výsledků, které vyhovují zadání úlohy. Ne vždy musíme všechny výsledky narýsovat. Například při konstrukci trojúhelníku se známými délkami stran nám typicky stačí narýsovat jeden trojúhelník „nad“ první narýsovanou stranou, i když oblouky mají dva průsečíky a mohly by nám vzniknout dva shodné trojúhelníky. U dalších jednodušších úloh většinou postupujeme podobně. Při řešení náročnějších konstrukčních úloh, kde je vyžadováno nalezení všech řešení, je dobré mít na paměti, v kolika bodech se útvary doopravdy protínají a zda uvažujeme skutečně celé množiny bodů daných vlastností.

Dále využíváme pro zápis geometrických konstrukcí množinové operace, především průnik (\cap) a sjednocení (\cup).

Polopřímka je část přímky, která vznikne rozdělením přímky jedním jejím bodem. Tento bod se nazývá počáteční. Polopřímku s počátečním bodem A procházející bodem B značíme \mapsto AB. Každý bod rozděluje přímku na dvě opačné polopřímky se společným počátečním bodem.

Základní vlastnosti polopřímek:

• Sjednocením dvou opačných polopřímek je přímka.
• Průnikem dvou opačných polopřímek je bod.
• Průnikem polopřímek \mapsto AB a \mapsto BA je úsečka AB.

Polorovina je část roviny, která vznikne rozdělením roviny jednou přímkou. Tato přímka se nazývá hraniční. Polorovinu s hraniční přímkou p procházející bodem K značíme \mapsto pK. Je-li přímka p určena body A, B, můžeme také psát \mapsto ABK. Každá přímka rozděluje rovinu na dvě opačné poloroviny se společnou hraniční přímkou.

Základní vlastnosti polorovin:

• Sjednocením dvou opačných polorovin je rovina.
• Průnikem dvou opačných polorovin je hraniční přímka.
• Průnikem dvou polorovin s rovnoběžnými hraničními přímkami je pás rovnoběžek.

Pro zápis geometrických konstrukcí používáme množinové operace, především průnik \cap a sjednocení \cup.

Rovnoběžky jsou dvě přímky ležící ve stejné rovině, které se nikde neprotínají. Rovnoběžnost přímek p a q zapisujeme p \parallel q.

Kolmice je přímka, která protíná jinou přímku a svírá s ní úhel 90°. Kolmost přímek p a q zapisujeme p \perp q.

Dvě přímky, které jsou kolmé na nějakou třetí přímku a současně obě leží v jedné rovině, jsou rovnoběžky.

Při řešení jednodušších úloh provádíme konstrukce trojúhelníků se známými délkami stran. Nesmíme přitom zapomínat, že platí tzv. trojúhelníková nerovnost, tedy že součet dvou stran je větší než třetí strana. Jednoduše řečeno, jedině pokud je součet dvou nejkratších stran větší než třetí strana, trojúhelník lze sestrojit.

Občas má některý trojúhelník zajímavou vlastnost, která nám pomůže odvodit si potřebné informace k jeho sestrojení — může jít např. o konstrukci rovnoramenného nebo rovnostranného trojúhelníku.

Při řešení složitějších příkladů provádíme konstrukci trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu, využíváme přitom známé věty o sestrojitelnosti trojúhelníků.

U nejtěžších příkladů, jako je konstrukce trojúhelníků, kdy známé údaje zahrnují těžnice, výšky, opsanou nebo vepsanou kružnici trojúhelníka využíváme při konstrukci další pojmy související s trojúhelníkem, či množiny bodů daných vlastností.

Při konstrukci trojúhelníků můžeme každou stranu označit dvěma způsoby:

• přímo – strana a
• pomocí vrcholů – strana BC

Při konstrukcích také můžeme zaměňovat označení strany a její délky. Můžeme psát a=|BC|. Je třeba myslet i na pravidlo, že strana je pojmenovaná podle protějšího vrcholu.

Při konstrukcích trojúhelníků, u kterých známe tři strany, postupujeme tak, že sestrojíme jako první libovolnou stranu, na obrázku například AB. K nalezení posledního vrcholu C použijeme dvě kružnice nebo jejich části. Výsledkem konstrukce jsou dva shodné (stejné) trojúhelníky, proto stačí sestrojit jen jeden.

Kromě níže uvedených interaktivních cvičení je k dispozici také pracovní list k vytištění a rýsování na papíře:

• Pracovní list: Konstrukce trojúhelníků: známé délky stran

Při konstrukci rovnoramenného trojúhelníku využíváme jeho základní vlastnosti:

• Má dvě strany (ramena) shodné. Vrchol proti základně tedy leží na ose základny.
• Shodné (stejně velké) jsou i vnitřní úhly při základně.
• Výška kolmá na základnu leží na ose základny a dělí rovnoramenný trojúhelník na dva shodné trojúhelníky.

Rovnostranný trojúhelník můžeme chápat jako speciální případ rovnoramenného trojúhelníka. Má všechny strany stejně dlouhé a velikost všech jeho vnitřních úhlů je 60°.

Kromě níže uvedených interaktivních cvičení je k dispozici také pracovní list k vytištění a rýsování na papíře:

• Pracovní list: Konstrukce rovnostranných a rovnoramenných trojúhelníků

Při složitějších příkladech využíváme věty o sestrojitelnosti trojúhelníků (kde s značí stranu a u úhel):

• Věta sss — v trojúhelníku jsou dány délky všech stran, pro které platí trojúhelníková nerovnost.
• Věta sus— v trojúhelníku jsou dány délky dvou stran a velikost úhlu, který svírají (menší než 180°).
• Věta usu — v trojúhelníku je dána délka jedné strany a velikosti 2 úhly k ní přiléhající (součet velikostí daných úhlů je menší než 180°).
• Věta Ssu — známe velikosti dvou stran trojúhelníka a velikost úhlu proti větší z těchto stran (velikost zadaného úhlu je menší než 180°).

Tyto věty také používáme při určení shodnosti trojúhelníků.

Kromě níže uvedených interaktivních cvičení je k dispozici také pracovní list k vytištění a rýsování na papíře:

• Pracovní list: Konstrukce trojúhelníků podle vět

Při řešení složitějších příkladů použijeme další pojmy související s trojúhelníkem, například výška, těžnice, střední příčka, kružnice opsaná či vepsaná.

Těžnice je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a jejich průsečík tvoří těžiště trojúhelníku. Těžiště rozděluje každou těžnici v poměru 2 : 1. Delší část těžnice je úsečka mezi vrcholem a těžištěm.

Střední příčka trojúhelníku je úsečka, která spojuje středy 2 stran v trojúhelníku. Je rovnoběžná se stranou, jejíž střed nespojuje a její délka je rovna polovině délky této strany.

Kružnice opsaná je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Její střed leží v průsečíku os stran. To znamená, že střed kružnice opsané je stejně vzdálen od všech vrcholů trojúhelníku.

Kružnice vepsaná je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. Její střed leží v průsečíku os vnitřních úhlů trojúhelníku. To znamená, že střed kružnice vepsané je stejně vzdálen od všech tří přímek, na kterých leží strany trojúhelníku.

Kromě níže uvedených interaktivních cvičení jsou k dispozici také pracovní listy k vytištění a rýsování na papíře:

• Pracovní list: Konstrukce trojúhelníků: těžnice, výšky
• Pracovní list: Konstrukce trojúhelníků: vepsaná a opsaná kružnice

Při řešení složitějších konstrukčních úloh budeme využívat i množiny bodů daných vlastností. Připomeňme si ty nejdůležitější.

Kromě níže uvedených interaktivních cvičení je k dispozici také pracovní list k vytištění a rýsování na papíře:

• Pracovní list: Konstrukční úlohy: průřezově (pro 9. ročník)