Podmínky lomených výrazů

GXH

umime.to/GXH

U lomených výrazů je potřeba brát v potaz podmínky, za kterých má smysl. Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly. Příklady:

Výraz \frac{x+5}{x-3} má smysl pro x \neq 3.
Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má smysl pro x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, protože x^2-1 = 0 pro hodnoty -1 a 1.
Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má smysl pro všechna reálná čísla, protože x^2+1 je vždy větší než nula.

Určit, kdy je výraz různý od nuly nemusí být úplně snadné. Pro ilustraci uveďme těžší příklad výrazu s obecným kvadratickým jmenovatelem (mohou se hodit poznatky z kvadratických rovnic a grafy kvadratických funkcí).

Určení podmínek lomeného výrazu \frac{1}{x^2+kx+3}

Výraz má smysl pokud x^2+kx+3 \neq 0.
Diskriminant kvadratické rovnice x^2+kx+3 = 0 pro proměnnou x je k^2-12.
Uvedená kvadratická rovnice má jedno nebo dvě řešení x_1=\frac{-k+\sqrt{k^2-12}}{2}, x_2=\frac{-k-\sqrt{k^2-12}}{2} pro k^2-12 \geq 0, tedy pro k \leq -\sqrt{12} nebo k \geq \sqrt{12}.
Lomený výraz má smysl, když jeho jmenovatel není roven nule, tedy když kvadratická rovnice nemá žádné řešení nebo x není rovno řešení této rovnice.
Celkově má výraz \frac{1}{x^2+kx+3} smysl pokud k \in (-\sqrt{12},\sqrt{12}) nebo x \notin \{ x_1,x_2\}.

Určení podmínek lomeného výrazu \frac{1}{\frac{x-3}{x}}

Výraz má smysl, pokud žádný zlomek nemá nulový jmenovatel.
Jedná se o zlomek \frac{1}{\frac{x-3}{x}} se jmenovatelem \frac{x-3}{x} a také o zlomek \frac{x-3}{x} se jmenovatelem x.
\frac{x-3}{x} by bylo rovno nule pro x=3.
x by bylo rovno nule přímo pro x=0.
Takže celkově podmínky, za kterých má smysl výraz ze zadání, jsou: x \neq 3, x \neq 0