Nadřazené | Elementární algebra » Algebraické výrazy a jejich úpravy » Lomené výrazy |
Předcházející | Úpravy výrazů s více proměnnými, Úpravy výrazů se zlomky |
Navazující | Rovnice s lomenými výrazy, Dělení mnohočlenu mnohočlenem |
Lomený výraz má tvar zlomku, v jehož jmenovateli je mnohočlen (výraz obsahující celočíselné mocniny proměnné). Příkladem lomeného výrazu je \frac{x+2}{x^2-1}.
Podmínky lomených výrazů
U lomených výrazů je potřeba brát v potaz podmínky, za kterých má smysl. Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly. Příklady:
- Výraz \frac{x+5}{x-3} má smysl pro x \neq 3.
- Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má smysl pro x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, protože x^2-1 = 0 pro hodnoty -1 a 1.
- Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má smysl pro všechna reálná čísla, protože x^2+1 je vždy větší než nula.
Určit, kdy je výraz různý od nuly nemusí být úplně snadné. Pro ilustraci uveďme těžší příklad výrazu s obecným kvadratickým jmenovatelem (můžou se hodit poznatky z kvadratických rovnic a grafy kvadratických funkcí).
Určení podmínek lomeného výrazu \frac{1}{x^2+kx+3}
- Výraz má smysl pokud x^2+kx+3 \neq 0.
- Diskriminant kvadratické rovnice x^2+kx+3 = 0 pro proměnnou x je k^2-12.
- Uvedená kvadratická rovnice má jedno nebo dvě řešení x_1=\frac{-k+\sqrt{k^2-12}}{2}, x_2=\frac{-k-\sqrt{k^2-12}}{2} pro k^2-12 \geq 0, tedy pro k \leq -\sqrt{12} nebo k \geq \sqrt{12}.
- Lomený výraz má smysl, když jeho jmenovatel není roven nule, tedy když kvadratická rovnice nemá žádné řešení nebo x není rovno řešení této rovnice.
- Celkově má výraz \frac{1}{x^2+kx+3} smysl pokud k \in (-\sqrt{12},\sqrt{12}) nebo x \notin \{ x_1,x_2\}.
Určení podmínek lomeného výrazu \frac{1}{\frac{x-3}{x}}
- Výraz má smysl, pokud žádný zlomek nemá nulový jmenovatel.
- Jedná se o zlomek \frac{1}{\frac{x-3}{x}} se jmenovatelem \frac{x-3}{x} a také o zlomek \frac{x-3}{x} se jmenovatelem x.
- \frac{x-3}{x} by bylo rovno nule pro x=3.
- x by bylo rovno nule přímo pro x=0.
- Takže celkově podmínky, za kterých má smysl výraz ze zadání, jsou: x \neq 3, × \neq 0
Úpravy lomených výrazů
S lomenými výrazy počítáme podobně jako se zlomky, pouze musíme úpravy provádět s mnohočleny.
Příklad: úprava výrazu \frac{3}{4x} + \frac{2}{3x}
- Převedeme oba výrazy na společný jmenovatel: \frac{9}{12x} + \frac{8}{12x}.
- Sečteme: \frac{9+8}{12x} = \frac{17}{12x}.
Příklad: úprava výrazu \frac{x+y}{x^2-y^2}
- Jmenovatel rozepíšeme pomocí vzorce x^2-y^2=(x+y)(x-y).
- Dostáváme \frac{x+y}{(x+y)(x-y)}.
- Pokrátíme na \frac{1}{x-y}.
Přesouvání
Přesouvání kartiček na správné místo. Jednoduché ovládání, zajímavé a neotřelé úlohy.
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/stit-0-tecka.png)
Lomené výrazy (těžké)
zadání: 17
Typicky zabere: 6 min
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/previews/exercise-62/ps_preview_1786.png)
Rozhodovačka
Rychlé procvičování výběrem ze dvou možností.
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/stit-0-tecka.png)
Úpravy lomených výrazů (střední)
zadání: 45
Typicky zabere: 7 min
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/previews/exercise-26/ps_preview_1820.png)
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/stit-0-tecka.png)
Úpravy lomených výrazů (těžké)
zadání: 63
Typicky zabere: 10 min
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/previews/exercise-26/ps_preview_851.png)
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/stit-0-tecka.png)
Podmínky lomených výrazů (lehké)
zadání: 30
Typicky zabere: 4 min
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/previews/exercise-26/ps_preview_2582.png)
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/stit-0-tecka.png)
Podmínky lomených výrazů (střední)
zadání: 27
Typicky zabere: 5 min
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/previews/exercise-26/ps_preview_2583.png)
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/stit-0-tecka.png)
Podmínky lomených výrazů (těžké)
zadání: 30
Typicky zabere: 8 min
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/previews/exercise-26/ps_preview_852.png)
Krok po kroku
Doplňování jednotlivých kroků v rozsáhlejším postupu.
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/stit-0-tecka.png)
Lomené výrazy (lehké)
zadání: 30
Typicky zabere: 8 min
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/previews/exercise-41/ps_preview_2139.png)
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/stit-0-tecka.png)
Lomené výrazy (střední)
zadání: 15
Typicky zabere: 9 min
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/previews/exercise-41/ps_preview_2107.png)
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/stit-0-tecka.png)
Lomené výrazy (těžké)
zadání: 20
Typicky zabere: 10 min
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/previews/exercise-41/ps_preview_977.png)
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/stit-0-tecka.png)
Podmínky lomených výrazů (lehké)
zadání: 15
Typicky zabere: 8 min
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/previews/exercise-41/ps_preview_2108.png)
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/stit-0-tecka.png)
Podmínky lomených výrazů (střední)
zadání: 15
Typicky zabere: 9 min
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/previews/exercise-41/ps_preview_2109.png)
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/stit-0-tecka.png)
Podmínky lomených výrazů (těžké)
zadání: 15
Typicky zabere: 8 min
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/previews/exercise-41/ps_preview_1459.png)
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/stit-0-tecka.png)
Početní operace s lomenými výrazy (lehké)
zadání: 10
Typicky zabere: 7 min
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/previews/exercise-41/ps_preview_2134.png)
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/stit-0-tecka.png)
Početní operace s lomenými výrazy (střední)
zadání: 10
Typicky zabere: 9 min
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/previews/exercise-41/ps_preview_2132.png)
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/stit-0-tecka.png)
Početní operace s lomenými výrazy (těžké)
zadání: 10
Typicky zabere: 10 min
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/previews/exercise-41/ps_preview_2135.png)
Psaná odpověď
Cvičení, ve kterém píšete odpověď na klávesnici.
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/stit-0-tecka.png)
Lomené výrazy (střední)
zadání: 30
Typicky zabere: 7 min
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/previews/exercise-22/ps_preview_1048.png)