Čeština
Angličtina
Informatika
Biologie
Němčina
Umíme to
Zeměpis
Chemie
Dějepis
Fyzika
Aritmetika
Zlomky, procenta, desetinná čísla
Geometrie
Elementární algebra
Funkce
Jednotky, míry
Diskrétní matematika
Finanční gramotnost
Rozhodovačka
Pexeso
Krok po kroku
Psaná odpověď
Grafař
Porozumění
Označování
Přesouvání
Mřížkovaná
Rozdělovačka
Rozbitá kalkulačka
Roboti
Střílečka
Příšerky
Závody
Týmovka
Výpis souhrnů
Algebraické výrazy a jejich úpravy
Prohlížíte si souhrny informací k určitým tématům. Systémy Umíme se zaměřují hlavně na jejich procvičování. Ke cvičením k jednotlivým podtématům se dostanete pomocí odkazů níže.
Podtémata
Algebraické výrazy a jejich úpravy
Algebraický výraz je tvořen z konstant („čísla“) a proměnných („písmenka“), které jsou dohromady spojeny pomocí algebraických operací (např. sčítání, násobení) a závorek. Proměnná zastupuje čísla z určitého oboru hodnot. Pomocí algebraických výrazů můžeme provádět obecné výpočty.
Příklad:
- Sedlák Sedloň má na dvorku p prasat a s slepic.
- Výraz 4\cdot p + 2 \cdot s vyjadřuje celkový počet nohou, která zvířata na dvorku mají.
- V tomto výrazu jsou čísla 4 a 2 konstanty, písmena p a s jsou proměnné, jejichž oborem jsou přirozená čísla.
- Výraz můžeme upravit do tvaru 2(2p+s). Tato úprava zachovává hodnotu výrazu pro všechna možná přiřazení hodnot proměnných.
Dosazování do výrazů
Základní krok pro práci s algebraickými výrazy je dosazení hodnoty za proměnnou. Častým zdrojem chyb při dosazování jsou „mínuska“, dáváme si na ně tedy obzvlášť pozor (počítání se zápornými čísly může být užitečné zopakovat před dosazováním těchto čísel do výrazů).
Příklad:
| Výraz | Hodnoty proměnných | Dosazení |
|---|---|---|
| 14-3n | n=2 | 14-3\cdot 2 = 8 |
| 3x-y | x=2, y=4 | 3\cdot2 - 4 = 2 |
| 2a+3b | a=5, b=-1 | 2\cdot 5 + 3\cdot(-1) = 7 |
| 1-x-2y | x=-5, y=7 | 1-(-5)-2\cdot 7 = 1+5-14=-8 |
Úpravy výrazů s jednou proměnnou
Provádíme takové úpravy výrazů, které zachovávají hodnotu výrazu pro všechna možná dosazení za proměnné. Příklady úprav:
| Popis | Výraz | Upravený výraz |
|---|---|---|
| Sečtení členů s proměnnou | 3x+4+6x | =9x+4 |
| Roznásobení závorky | 3(x+2) | =3x+6 |
| Odečtení závorky | 1-(x-2) | =1-x+2 =3-x |
| Vytknutí proměnné | x^2+2x+3 | =x\cdot x +2x+3=x(x+2)+3 |
| Umocnění | (x+1)^2 | =(x+1)(x+1)=x^2+2x+1 |
Pozor na častou chybu v případě odečtení závorky: nesmíme zapomenout, že „mínus a mínus dává plus“.
NahoruÚpravy výrazů s více proměnnými
Provádíme takové úpravy výrazů, které zachovávají hodnotu výrazu pro všechna možná dosazení za proměnné. Příklady úprav:
| Popis | Výraz | Upravený výraz |
|---|---|---|
| Sečtení členů se stejnou proměnnou | 3x+2y+4x | =7x+2y |
| Roznásobení závorky | x(y-2) | =xy-2x |
| Vytknutí | 4x-x^2y+3 | =x(4-xy)+3 |
| Umocnění | (a+b)^2 | =(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2 |
| Roznásobení dvou závorek | (a+b)(a-b) | =(a+b)(a-b)=a^2+ab-ab-b^2 = a^2-b^2 |
Úpravy výrazů se zlomky
Úpravy výrazů se zlomky provádíme stejnými základními postupy jako ostatní úpravy výrazů, pouze při tom používáme navíc operace specifické pro zlomky, např. krácení zlomků, sčítání a odčítání zlomků, násobení a dělení zlomků. Příklady úprav:
| Popis | Výraz | Upravený výraz |
|---|---|---|
| Krácení zlomku | \frac{3x+6}{15} | =\frac{x+2}{5} |
| Součet zlomků | \frac{x}{2}+\frac{x}{3} | =\frac{3x}{6}+\frac{2x}{6} = \frac{5x}{6} |
| Násobení zlomků | \frac{x+1}{2} \cdot \frac{1}{3} | =\frac{x+1}{6} |
Lomené výrazy
Lomený výraz je podíl dvou mnohočlenů. Zapisujeme většinou jako zlomek, například \frac{x+2}{x^2-1}.
Podmínky za kterých má daný lomený výraz smysl mají u každého lomeného výrazu velký význam, protože dělit nulou není dovoleno.
Výpočty s lomenými výrazy a jejich úpravy provádíme podobně, jako když pracujeme se zlomky, jenom musíme mít na paměti, že čitatelé a jmenovatelé jsou u lomených výrazů mnohočleny.
Podmínky lomených výrazů
U lomených výrazů je potřeba brát v potaz podmínky, za kterých má smysl. Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly. Příklady:
- Výraz \frac{x+5}{x-3} má smysl pro x \neq 3.
- Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má smysl pro x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, protože x^2-1 = 0 pro hodnoty -1 a 1.
- Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má smysl pro všechna reálná čísla, protože x^2+1 je vždy větší než nula.
Určit, kdy je výraz různý od nuly nemusí být úplně snadné. Pro ilustraci uveďme těžší příklad výrazu s obecným kvadratickým jmenovatelem (mohou se hodit poznatky z kvadratických rovnic a grafy kvadratických funkcí).
Určení podmínek lomeného výrazu \frac{1}{x^2+kx+3}
- Výraz má smysl pokud x^2+kx+3 \neq 0.
- Diskriminant kvadratické rovnice x^2+kx+3 = 0 pro proměnnou x je k^2-12.
- Uvedená kvadratická rovnice má jedno nebo dvě řešení x_1=\frac{-k+\sqrt{k^2-12}}{2}, x_2=\frac{-k-\sqrt{k^2-12}}{2} pro k^2-12 \geq 0, tedy pro k \leq -\sqrt{12} nebo k \geq \sqrt{12}.
- Lomený výraz má smysl, když jeho jmenovatel není roven nule, tedy když kvadratická rovnice nemá žádné řešení nebo x není rovno řešení této rovnice.
- Celkově má výraz \frac{1}{x^2+kx+3} smysl pokud k \in (-\sqrt{12},\sqrt{12}) nebo x \notin \{ x_1,x_2\}.
Určení podmínek lomeného výrazu \frac{1}{\frac{x-3}{x}}
- Výraz má smysl, pokud žádný zlomek nemá nulový jmenovatel.
- Jedná se o zlomek \frac{1}{\frac{x-3}{x}} se jmenovatelem \frac{x-3}{x} a také o zlomek \frac{x-3}{x} se jmenovatelem x.
- \frac{x-3}{x} by bylo rovno nule pro x=3.
- x by bylo rovno nule přímo pro x=0.
- Takže celkově podmínky, za kterých má smysl výraz ze zadání, jsou: x \neq 3, x \neq 0
Lomené výrazy: úpravy a výpočty
S lomenými výrazy počítáme podobně jako se zlomky, pouze musíme úpravy provádět s mnohočleny. Při úpravách často využíváme úpravy algebraických výrazů.
Krácení lomených výrazů
- Když je čitatel i jmenovatel lomeného výrazu vynásobený stejným výrazem, můžeme tento výraz zkrátit.
- Pozor, krátíme jen při násobení.
Příklad: úprava výrazu \frac{x+y}{x^2-y^2}
- Jmenovatel rozepíšeme pomocí vzorce: x^2-y^2=(x+y)(x-y)
- Dostáváme: \frac{\textcolor{#3498db}{x+y}}{\textcolor{#3498db}{(x+y)}(x-y)}
- Pokrátíme na: \frac{1}{x-y}
Příklad: nesprávná úprava výrazu \frac{x-2}{x^2-4}
- Nesprávným krokem by bylo vykrácení x, tedy například \frac{x-2}{x^{2}-4} nelze upravit na \frac{-2}{x-4}, protože x zde nemůžeme z čitatele a jmenovatele vytknout.
- Správným postupem je rozložení jmenovatele na součin \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} a dále pokrácení \frac{\textcolor{#3498db}{x-2}}{\textcolor{#3498db}{(x-2)}(x+2)}=\frac{1}{x+2}.
Sčítání a odčítání lomených výrazů
- Při sčítání a odčítání lomených výrazů převedeme jmenovatele výrazů na společného jmenovatele.
- Výhodné je najít nejmenšího společného jmenovatele.
Příklad: úprava výrazu \frac{3}{4x} + \frac{2}{3x}
- Převedeme oba výrazy na společný jmenovatel: \frac{9}{12x} + \frac{8}{12x}
- Sečteme: \frac{9+8}{12x} = \frac{17}{12x}
Násobení lomených výrazů
Při násobení vynásobíme čitatele mezi sebou a jmenovatele mezi sebou.
Příklad: násobení \frac{x}{x+1}\cdot\frac{x-1}{x^3}
- vynásobíme čitatele původních lomených výrazů a získáme čitatele výsledku: x \cdot (x-1)
- vynásobíme jmenovatele původních lomených výrazů a získáme jmenovatele výsledku: (x+1) \cdot x^3
- celkově máme: \frac{x}{x+1}\cdot\frac{x-1}{x^3} = \frac{x (x-1)}{x^3 (x+1)}
- což ještě můžeme zkrátit na: \frac{x-1}{x^2 (x+1)}
Dělení lomených výrazů
Dělení lomeným výrazem převádíme na násobení převráceným lomeným výrazem.
Příklad: úprava výrazu \frac{1-x}{x}:\frac{x-1}{3x^2}
- Dělení převedeme na násobení převrácenou hodnotou \frac{1-x}{x}\cdot\frac{3x^2}{x-1}
- Vykrátíme \frac{1-x}{\textcolor{#3498db}{x}}\cdot\frac{3x^{\textcolor{#3498db}{2}}}{x-1}= \frac{(1-x)\cdot 3x}{x-1}
- A opět vykrátíme, protože výrazy 1-x a x-1 se liší pouze znaménkem
\frac{(1-x) \cdot 3x}{(x-1)}=\frac{\textcolor{#3498db}{(1-x)} \cdot3x}{\textcolor{#3498db}{(1-x)}\cdot(-1)}=-3x
