Čeština
Angličtina
Informatika
Biologie
Němčina
Umíme to
Zeměpis
Chemie
Dějepis
Fyzika
Aritmetika
Zlomky, procenta, desetinná čísla
Geometrie
Elementární algebra
Funkce
Jednotky, míry
Diskrétní matematika
Finanční gramotnost
Rozhodovačka
Pexeso
Krok po kroku
Psaná odpověď
Grafař
Porozumění
Označování
Přesouvání
Mřížkovaná
Rozdělovačka
Rozbitá kalkulačka
Roboti
Střílečka
Příšerky
Závody
Týmovka
Výpis souhrnů
Úsečky
Prohlížíte si souhrny informací k určitým tématům. Systémy Umíme se zaměřují hlavně na jejich procvičování. Ke cvičením k jednotlivým podtématům se dostanete pomocí odkazů níže.
Podtémata
Úsečka je část přímky mezi dvěma krajními body (včetně těchto bodů). Úsečka je v rovině i v prostoru jednoznačně zadaná svými krajními body.
NahoruDélka úsečky v rovině
Délku úsečky v rovině spočítáme stejně jako vzdálenost bodů v rovině.
Jsou‑li dány souřadnice A[x_A; y_A], B[x_B; y_B], je délka úsečky AB:
|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}
Vzoreček vychází z Pythagorovy věty.
Je nutné počítat rozdíl souřadnic v pořadí „druhý bod mínus první“?
- Není. Výrazy x_B-x_A a x_A-x_B nejsou stejné. Ale jsou opačné a ve vzorci počítáme jejich druhé mocniny, které se rovnají.
- Navíc geometricky, délka úsečky AB je stejná jako délka úsečky BA.
- Důvodem zápisu právě v tomto tvaru je fakt, že délka úsečky je rovna velikosti vektoru \overrightarrow{AB} a u vektoru se jeho velikost vždy počítá „koncový bod mínus počáteční“.
Příklad: Délka úsečky EF: E[0;-1], F[-4;2]
- |EF| = \sqrt{(x_F-x_E)^2 + (y_F-y_E)^2}
- Dosadíme souřadnice bodů E[0;-1] a F[-4;2]: \sqrt{(-4-0)^2 + (2-(-1))^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=\sqrt{25}=5
- Délka úsečky je: |EF|=5
Střed úsečky v rovině
Střed úsečky dělí úsečku na dvě stejné části. Pokud leží krajní body úsečky AB na číselné ose a jejich polohám odpovídají hodnoty a a b, potom jejímu středu S odpovídá číslo s=\frac{a+b}{2}. Střed úsečky je „průměrem“ jejích krajních bodů.
Pro úsečku v rovině bude situace následující. 
Situace na obou souřadných osách je stejná jako předtím. Spočítáme obě souřadnice středu jako průměry odpovídajících souřadnic krajních bodů.
Pro střed S[s_1;s_2] úsečky AB, kde A[x_A; y_A], B[x_B; y_B] platí:
s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}
Příklad: určení středu úsečky
Najděte střed úsečky AB: A[6;-1], B[2;3]
- Pro souřadnice středu S[s_1;s_2] platí: s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}
- Dosadíme souřadnice bodů A[6;-1], B[2;3]: s_1 = \frac{6+2}{2}=4, s_2 = \frac{-1+3}{2}=1
- Střed úsečky AB je bod S[4;1]
Příklad: určení druhého krajního bodu úsečky
Určete souřadnice druhého krajního bodu úsečky AB, je‑li dán bod A[-3;0] a její střed S[1;3].
- Pro souřadnice středu S[s_1;s_2] platí: s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}
- Dosadíme souřadnice bodů A[-3;0], S[1;3]: 1 = \frac{-3+x_B}{2}, 3 = \frac{0+y_B}{2}
- Dopočítáme neznámé x_B, y_B: 2=-3+x_B\Rightarrow x_B=5\\ 6=0+y_B\Rightarrow y_B=6
- Bod B má souřadnice [5;6].
Vzájemná poloha úseček v rovině
Dvě úsečky v rovině mohou mít společné krajní body, pak říkáme, že jsou totožné. Pokud se úsečky protínají v jednom bodě, říkáme, že jsou různoběžné. Úsečky se také nemusí protínat, nemají tedy žádný společný bod. Speciálně mohou v tomto případě být rovnoběžné.
Délka úsečky v prostoru
Délku úsečky v prostoru spočítáme stejně jako vzdálenost bodů v prostoru.
Jsou‑li dány souřadnice A[x_A; y_A;z_A], B[x_B; y_B;z_B], je délka úsečky AB:
|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}
Příklad: Délka úsečky EF: E[-2;0;1], F[-4;2;0]
- |EF| = \sqrt{(x_F-x_E)^2 + (y_F-y_E)^2+ (z_F-z_E)^2}
- Dosadíme souřadnice bodů EF; E[-2;0;1], F[-4;2;0]:
\sqrt{(-4-(-2))^2 + (2-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{(-2)^2 + 2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3 - Délka úsečky je: |EF|=3
Střed úsečky v prostoru
Střed úsečky v prostoru spočítáme podobně jako střed úsečky v rovině. Spočítáme všechny souřadnice středu jako průměry odpovídajících souřadnic krajních bodů.
Pro střed S[s_1;s_2;s_3] úsečky AB, kde A[x_A; y_A;z_A], B[x_B; y_B;z_B] platí:
s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2} , s_3 = \frac{z_A+z_B}{2}
Příklad: určení středu úsečky
Najděte střed úsečky AB: A[2;1;-3], B[2;-3;3]
Pro souřadnice středu S[s_1;s_2;s_3] platí: s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}, s_3 = \frac{z_A+z_B}{2}
- Dosadíme souřadnice bodů A[2;1;-3], B[2;-3;3].
- s_1 = \frac{2+2}{2}=2, s_2 = \frac{1-3}{2}=-1, s_3 = \frac{-3+3}{2}=0
Střed úsečky AB je bod S[2;-1;0]
Příklad: určení druhého krajního bodu úsečky
Určete souřadnice druhého krajního bodu úsečky AB, je-li dán bod A[1;2;4] a její střed S[1;-3;0].
- Pro souřadnice středu S[s_1;s_2;s_3] platí: s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}, s_3 = \frac{z_A+z_B}{2}
- Dosadíme souřadnice bodů A[1;2;4], S[1;-3;0].
- 1 = \frac{1+x_B}{2}, -3 = \frac{2+y_B}{2}, 0 = \frac{4+z_B}{2}
- Dopočítáme neznámé x_B, y_B, z_B:
\begin{array}{rclcrcr} 2&=&1+x_B &\Rightarrow& x_B&=&1\\ -6&=&2+y_B &\Rightarrow& y_B&=&-8\\ 0&=&4+z_B&\Rightarrow& z_B&=&-4 \end{array}
- Bod B má souřadnice [2;-8;-4].
Vzájemná poloha úseček v prostoru
Podobně jako v rovině mohou mít dvě úsečky společné krajní body, pak říkáme, že jsou totožné. Pokud se úsečky protínají v jednom bodě, říkáme, že jsou různoběžné. Úsečky se také nemusí protínat, nemají tedy žádný společný bod. Speciálně mohou v tomto případě být rovnoběžné.
Tyto vzájemné polohy si dobře můžeme ilustrovat na krychli.
