Operace a vlastnosti v rovině
Operace a vlastnosti v rovině
Základní intuitivní představa pro jednotlivé operace a vlastnosti:
- Osová souměrnost: děláme „zrcadlový“ obraz útvaru podle přímky.
- Středová souměrnost: překlápíme útvar podle bodu.
- Otočení: otočíme útvar okolo určitého bodu o nějaký úhel.
- Shodnost: dva útvary jsou shodné, pokud „mají stejný tvar a velikost“ (mohou se lišit natočením a umístěním).
- Podobnost: dva útvary jsou podobné, pokud „mají stejný tvar“ (mohou se lišit velikostí, natočením a umístěním).
Téma určení zobrazení v rovině se pak zabývá rozlišování mezi jednotlivými zobrazeními.
Osová souměrnost
Osová souměrnost je dána přímkou o a přiřazuje každému bodu X mimo osu takový bod X', že přímka o je osou úsečky XX'. Jinými slovy: obraz má od osy stejnou vzdálenost jako původní bod a spojnice bodů je kolmá na osu. Osová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jde tedy o druh shodnosti.
Příklady
Modré a oranžové útvary jsou vzájemně osově souměrné podle osy o:
Pro lepší pochopení může být užitečné porovnat osovou a středovou souměrnost.
Osově souměrný útvar
Útvar označujeme za osově souměrný, pokud je v nějaké osové souměrnosti obrazem sebe sama. Osu této souměrnosti pak nazýváme osou útvaru. Obrázek uvádí příklady útvarů osově souměrných (zelené, s vyznačenými osami souměrnosti) i těch nesouměrných (červené):
Další příklady:
- Úsečka je osově souměrná a má v rovině jedinou osu souměrnosti (kolmici v jejím středu).
- Rovnoramenný trojúhelník je osově souměrný.
- Trojúhelník, který není rovnoramenný, není osově souměrný.
- Všechny pravidelné mnohoúhelníky jsou osově souměrné. Počet os souměrnosti je roven počtu vrcholů mnohoúhelníku.
- Kruh je osově souměrný a má nekonečně mnoho os souměrnosti.
Komiks pro zpestření
Středová souměrnost
Středová souměrnost je dána bodem S a přiřazuje každému bodu X takový bod X', že bod S je středem úsečky XX'. Jinými slovy: obraz má od středu stejnou vzdálenost jako původní bod a leží na polopřímce opačné k SX.
Středová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jde tedy o druh shodnosti. Středová souměrnost se středem v bodě S je shodná s otočením o 180 stupňů podle středu S.
Příklady
Modré a oranžové útvary jsou vzájemně středově souměrné podle středu S:
Pro lepší pochopení může být užitečné porovnat středovou a osovou souměrnost.
Středově souměrný útvar
Útvar označujeme za středově souměrný, pokud je v nějaké středové souměrnosti obrazem sebe sama. Střed této středové souměrnosti pak nazýváme středem souměrnosti objektu. Obrázek uvádí příklady útvarů středově souměrných (zelené, s vyznačeným středem souměrnosti) i těch nesouměrných (červené):
Další příklady:
Úsečka, obdélník, čtverec, kosočtverec, pravidelný šestiúhelník a kruh jsou středově souměrné.
Žádný trojúhelník není středově souměrný.
Podobnost
Dva geometrické útvary jsou si podobné, pokud oba mají stejný tvar (bez ohledu na velikost). Na následujícím obrázku mají podobné útvary stejnou barvu:
Přesněji řečeno, útvary jsou podobné, pokud jeden můžeme získat z druhého kombinací rovnoměrného zmenšení či zvětšení a následným posunutím, otočením nebo překlopením.
Podobnost zachovává velikost úhlů a poměr délek.
Poměr délek odpovídajících úseček v obou útvarech se nazývá koeficient podobnosti.