Poměry: výpočty

Výpočty při znalosti součtu (rozdílu)

Hledáme dvě čísla, když známe jejich poměr a známe jejich součet (případně rozdíl, součin, nebo nějaký jiný výraz). V takovém případě nám většinou pomůže spočítat si nejdříve čemu odpovídá jeden díl v poměru. Pokračujeme obvykle výpočtem hledaných čísel podle toho, kolika dílům v poměru odpovídá první a druhé číslo.

Příklad: Poměr nabitých a vybitých baterií v Gargamelově detektoru šmoulů je 1:4. Vybitých baterií je přitom o 6 více než nabitých. Jaké jsou počty nabitých a vybitých baterií?

Nejdříve si spočítáme, kolika bateriím odpovídá jeden díl. Víme, že vybitých baterií je o 6 více než nabitých. Vybitých baterií jsou přitom 4 díly a nabitých 1 díl, takže vybitých je o 4-1=3 díly více než nabitých. Takže 3 díly odpovídají 6 bateriím. Jeden díl odpovídá \frac{6}{3}=2 bateriím. Gargamel tedy má 2 nabité baterie a 4 \cdot 2 = 8 vybitých baterií.

Výsledek: Gargamel má dvě nabité a osm vybitých baterií.

Výpočty pomocí rovnic

Pokud už se vyznáme v řešení rovnic, můžeme při řešení využít zápisu pomocí dvou rovnic pro dvě neznámé.

• První rovnici zapíšeme ze známého poměru.
• Druhou rovnici zapíšeme z informace o hodnotě součtu (nebo rozdílu, součinu, atd.).

Příklad (těžší příklad pro ty, kteří už znají rovnice a obvod kruhu): Víme, že poloměry dvou kruhů jsou v poměru 2 : 5 a že součet jejich obvodů je 70 \pi. O jaké poloměry jde?

Označíme si poloměry a a b a zapíšeme si rovnice. Známe poměr a : b = 2 : 5, takže máme první rovnici \frac{a}{b}=\frac{2}{5}. Součet obvodů kruhů o poloměrech a,b je roven 2a\cdot \pi + 2b\cdot \pi. Tento součet známe, takže druhá rovnice zní 2(a+b)\cdot\pi = 70 \pi.

Řešíme soustavu rovnic. První rovnici vynásobíme 5b (má smysl pro b\neq 0) a dostaneme 5a=2b. Vydělíme druhou rovnici kladným číslem 2\pi a dostaneme a+b=35. Vyjádříme a z druhé rovnice a dosadíme do první. 5\cdot(35-b)=2b. Zjednodušíme a vypočítáme b. 175= 7b, tedy b=25. Spočítáme druhý poloměr a=35-b=10.

Výsledné poloměry kruhů jsou a=10,b=25.