Kombinatorika

Kombinatorika je obor matematiky, který se zabývá počítáním možností a uspořádáním prvků v různých situacích. Využívá se například k určení počtu různých kombinací při losování, sestavování týmů nebo určování pořadí.

• Kombinatorika: pojmy – základní pojmy a principy
• Permutace, kombinace, variace – různé způsoby uspořádání a výběru prvků, včetně jejich vzorců a příkladů
• Kombinační čísla – důkladnější procvičení klíčového pojmu v kombinatorice
• Výrazy s faktoriálem a kombinačními čísly – cílené procvičení výpočtů s faktoriály a kombinačními čísly, což je častý dílčí krok v kombinatorických výpočtech

Pojmy

• Permutace je uspořádání prvků do fixního pořadí.
• Kombinace (k prvková) je výběr k prvků ze zadané množiny.
• Kombinace s opakováním (k prvková) je výběr k prvků ze zadané množiny, přičemž prvky se mohou opakovat.
• Variace (k prvková) je uspořádaný výběr k prvků ze zadané množiny.
• Variace s opakováním (k prvková) je uspořádaný výběr k prvků ze zadané množiny, přičemž prvky se mohou opakovat.

Příklady

Vzorce

Počty permutací, kombinací a variací udává následující tabulka:

Kombinační číslo udává počet kombinací, tj. způsobů, jak vybrat k prvků z n prvkové množiny. Kombinační čísla se vyskytují velmi často v kombinatorických výpočtech, a proto mají speciální značení \binom{n}{k} (čteme „n nad k“).

Pro n \geq k \geq 0 platí: \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Pro kombinační čísla platí řada dalších vztahů, například:

• \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}
• \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}
• \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n

Příklady: