Lineární lomené funkce

Lineární lomenou funkci můžeme vyjádřit jako podíl dvou lineárních funkcí, tedy ve tvaru

f:y =\frac{ax+b}{cx+d},

kde a,b,c,d jsou konstanty.

Definičním oborem lineární lomené funkce je množina všech reálných čísel kromě hodnoty, ve které by jmenovatel zlomku \frac{ax+b}{cx+d} byl nulový:

D(f)=\mathbb{R} - \{-\frac{d}{c}\}

Úpravou podmínky pro nenulovost jmenovatele zlomku dostaneme vyjádření definičního oboru pomocí nerovnice: cx+d\neq0\Rightarrow x\neq -\frac{d}{c}

Kdy je funkce nelineární a nekonstantní (a graf je hyperbola, nikoliv přímka)

K tomu, aby f:y=\frac{ax+b}{cx+d} nebyla lineární ani konstantní funkce, musí být splněno několik podmínek. Pro konstanty a,b,c,d musí platit: c\neq0 a bc-ad\neq0.

• pro c=0 bychom měli lineární funkci danou rovnicí y =\frac{a}{d}\cdot x+\frac{b}{d}
• pro bc-ad=0 bychom měli konstantní funkci y =\frac{a}{c}

Speciálním případem lineární lomené funkce je nepřímá úměrnost vyjádřená ve tvaru y =\frac{k}{x}.

Lineární lomená funkce f:y =\frac{ax+b}{cx+d} má definiční obor D(f)=\R - \{-\frac{d}{c}\}, což můžeme také zapsat jako sjednocení dvou intervalů: D(f)=(-\infty, -\frac{d}{c}) \cup (-\frac{d}{c}, \infty)

Pokud c\neq0 a bc-ad\neq0, pak pro lineární lomenou funkci platí:

• je prostá
• není periodická
• nemá maximum ani minimum
• není shora ani zdola omezená

Další vlastnosti závisí na hodnotách koeficientů a, b, c, d:

• pro bc-ad \gt 0 je lineární lomená funkce klesající na intervalu (-\infty, -\frac{d}{c}) a také klesající na intervalu (-\frac{d}{c}, \infty)
• pro bc-ad \lt 0 je lineární lomená funkce rostoucí na intervalu (-\infty, -\frac{d}{c}) a také je rostoucí na intervalu (-\frac{d}{c}, \infty)
• pro a=0 a d=0 má lineární lomená funkce tvar: f:y =\frac{b}{cx} a je to lichá funkce (f(x) = - f(-x))

Grafem lineární lomené funkce je hyperbola, která má asymptoty rovnoběžné se souřadnými osami x a y.

Asymptota rovnoběžná s osou y prochází bodem, který nepatří do definičního oboru a má tedy rovnici: x =-\frac{d}{c}.

Pro nalezení rovnice asymptoty rovnoběžné s osou x vydělíme čitatele a jmenovatele a funkční předpis y =\frac{ax+b}{cx+d} upravíme na tvar y =\frac{a}{c}+\frac{n}{ax+b}. Asymptota rovnoběžná s osou x má rovnici: y =\frac{a}{c}.

Průsečík grafu s osou x je bod, pro který ax+b=0. V tomto bodě je hodnota funkce nulová, tedy čitatel zlomku \frac{ax+b}{cx+d} je nulový.

Průsečík grafu s osou y je bod, který dostaneme dosazením hodnoty x=0 do funkčního předpisu.