Čeština
Angličtina
Informatika
Biologie
Němčina
Umíme to
Zeměpis
Chemie
Dějepis
Fyzika
Aritmetika
Zlomky, procenta, desetinná čísla
Geometrie
Elementární algebra
Funkce
Jednotky, míry
Diskrétní matematika
Finanční gramotnost
Rozhodovačka
Pexeso
Krok po kroku
Psaná odpověď
Grafař
Porozumění
Označování
Přesouvání
Mřížkovaná
Rozdělovačka
Rozbitá kalkulačka
Roboti
Střílečka
Příšerky
Závody
Týmovka
Rozhodovačka
Finanční gramotnost
Procvičujte neomezeněVáš denní počet odpovědí je omezen. Pro navýšení limitu či přístup do svého účtu s licencí se přihlaste.
Přihlásit se
GWW
QR kód
Kód / krátká adresa
Zkopírujte kliknutím.
Nastavení cvičení
Pozor, nastavení je platné pouze pro toto cvičení a předmět.
Složené úročení
Základní pojmy
Z jednoduchého úročení už známe pojmy dlužník, věřitel, jistina, úrok, úroková míra, úrokovací období i daň z úroku. Víme, že dlužník zaplatí věřiteli za zapůjčení peněz odměnu – úrok. Víme také, že velikost úroku určuje pomocí procent úroková míra, kterou je nutné vztáhnout k úrokovacímu období. A právě u déletrvajících dluhů přichází na scénu tzv. složené úročení.
Jednoduché vs. složené úročení
Pokud si dlužník půjčí 20 000 Kč na dva roky s úrokovou mírou 10 % ročně, zvýší se jeho dluh po prvním roce na 22 000 Kč (20 000 jistina + 2000 úrok). Nastává ale otázka, jestli druhý rok počítat úrok zase jenom z půjčené částky (tedy opět z 20 000), nebo z aktuální dlužné částky (navýšené o loňský úrok, tedy z 22 000). První případ popisuje již známé jednoduché úročení. Úrok se vypočítává vždy pouze z jistiny. Druhému případu se říká složené úročení. Úrok se vypočítává z aktuální dlužné částky, tedy z částky zvýšené o úroky z minulých období.
| půjčená částka (jistina) | úroková míra | úrok 1. rok | dluh po 1. roce | úrok 2. rok | dluh po 2. roce | |
| jednoduché úročení | 20 000 Kč | 10 % | 2000 Kč | 22 000 Kč | 2000 Kč | 24 000 Kč |
| složené úročení | 20 000 Kč | 10 % | 2000 Kč | 22 000 Kč | 2200 Kč | 24 200 Kč |
Jednoduché úročení je tedy výhodnější pro dlužníka (zaplatí méně na úrocích). Složené úročení je výhodnější pro věřitele (dostane od dlužníka více na úrocích).
Připisování úroků
U jednoduchého úročení jsme narazili na to, že častější připisování úroků (např. místo 6 % ročně mít 0,5 % měsíčně) nepřináší žádný rozdíl v celkové výši úroků (6 = 12 \cdot 0{,}5). Při složeném úročení však rozdíl je. Pokud se budou úroky připisovat častěji, budou celkově vyšší. Každý další úrok se totiž bude počítat z vyššího základu.
Příklad – roční vs. měsíční připisování úroků u složeného úročení
Vezměme již zmiňovaných 6 % ročně s měsíčním připisováním 0,5 %. Počítáme se složeným úročením:
| roční připsání úroku | měsíční připisování úroku | |
| investovaná částka (jistina): | 10 000 Kč | 10 000 Kč |
| úroková míra: | 6 % ročně | 0,5 % měsíčně |
| 1. měsíc: | 10 000 Kč | 10 050 Kč |
| 2. měsíc: | 10 000 Kč | 10 100,25 Kč |
| 3. měsíc: | 10 000 Kč | 10 150,75 Kč |
| 4. měsíc: | 10 000 Kč | 10 201,505 Kč |
| … | … | … |
| rok: | 10 600 Kč | 10 616,8 Kč |
Pro jistinu 10 000 Kč by měsíční připisování zvedlo úroky o zhruba 16 Kč oproti připsání celého úroku 6 % jednou za rok.
Složené úročení matematicky
Spočítejme si, kolik celkem peněz na úrocích dlužník zaplatí navíc. Vezměme si příklad, kdy věřitel půjčí dlužníkovi nějakou částku X a on ji chce vrátit po n letech. Roční úrok je p\ \%. Při použití složeného úročení musí dlužník po n letech vrátit X \cdot \left(1+ \dfrac{p}{100}\right)^n Kč.
| investovaná částka (jistina): | 30 000 Kč | X Kč |
| úroková míra: | 10 % | p % |
| dluh včetně úroků 1. rok: | 33 000 Kč | X \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right) |
| dluh včetně úroků 2. rok: | 36 300 Kč | X \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right) |
| dluh včetně úroků 3. rok: | 39 930 Kč | X \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right) |
| dluh včetně úroků 4. rok: | 43 923 Kč | X \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right) |
| dluh včetně úroků n. rok: | 30 000 \cdot 1{,}1^n Kč | X \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)^n |
Všimněte si, že se každý rok aktuální částka násobí procentuálním koeficientem, jedná se tedy o geometrickou posloupnost.
Shrnutí
Složené úročení má většinu důležitých parametrů společných s jednoduchým úročením (úrokovou míru, úrokovací období, interval připisování úroků, daň z úroku). Důležitým rozdílem je to, že výši úroku vypočítáváme vždy z aktuální dlužné částky, která už může být navýšena o předchozí úroky. U jednoduchého úročení se úrok počítá vždy pouze z jistiny. Ve světě financí narazíte u většiny produktů právě na složené úročení.
Složené vs. jednoduché úročení (těžké)
Vyřešeno:
