![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/icons-umime/icon-bulb.svg)
Přímky: pojmy
![](https://www.umimeto.org/asset/global/img/icons/x-cropped.svg)
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/img/rules/primka_vysvetleni1.png)
Přímka je jednoznačně určena dvěma body, na obrázku je přímka p určená body A a B. Každý vektor, který je rovnoběžný s vektorem \overrightarrow{AB} se nazývá směrový vektor přímky p. Kterýkoliv z vektorů na obrázku je směrový vektor přímky p. K tomu, abychom určili konkrétní přímku ještě potřebujeme znát jeden bod na přímce (přímka p na obrázku je určena bodem A a kterýmkoliv z vektorů \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}).
Parametrické rovnice přímky
Přímka určená bodem A=[a_1;a_2] a vektorem \vec{u}=(u_1;u_2) má parametrické rovnice tvaru: \begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2\\&&t\in\mathbb{R}\end{array} Zkráceně můžeme vyjádřit p:X=A+t\vec{u}, číslo t nazýváme parametr.
Jak souvisí hodnota parametru t s polohou bodu na přímce
- Přímka p je určená bodem A a vektorem \vec{u}=\overrightarrow{AB}, tedy p:X=A+t\vec{u}
- Pro hodnotu t=0 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+0\cdot \vec{u} … bod A
- Pro hodnotu t=1 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+1\cdot \vec {u} … bod B
- Pro hodnotu t=2 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+2\cdot \vec {u} … bod C
- Pro hodnotu t=\frac{1}{2} dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+\frac{1}{2}\cdot \vec{u} … bod D (střed úsečky AB)
- Pro hodnotu t=-1 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A-1\cdot \vec{u} … bod E
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/img/rules/primka_vysvetleni2.png)
- Každá hodnota parametru určuje jeden bod na přímce, pro určení celé přímky tedy potřebujeme všechna reálná čísla, proto píšeme t\in\mathbb{R}.
- Body, které leží na úsečce AB (tedy body ležící mezi body A a B), vyjádříme parametricky, pokud do rovnice X=A+t\vec{u} dosadíme hodnoty parametru t splňující 0\leq t\leq1.
Obecná rovnice přímky
Každý vektor kolmý k přímce p se nazývá normálový vektor přímky p. Obecná rovnice přímky je rovnice ve tvaru: ax+by+c=0, kde konstanty a a b jsou souřadnice normálového vektoru a c reálné číslo.
Souřadnice směrového a normálového vektoru přímky p
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/img/zadani/analyticka-geometrie-pojmy/primka_pojmy.png)
- Pro přímku danou obecnou rovnicí ax+by+c=0:
- \vec{v} je normálový vektor přímky p, jeho souřadnice jsou: \vec{v}=(a;b)
- \vec{u} je směrový vektor přímky p, protože je to vektor kolmý k vektoru \vec{v}=(a;b), jeho souřadnice jsou: \vec{u}=(-b;a)
- Pro přímku danou parametricky: \begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}
- \vec{u} je směrový vektor přímky p, jeho souřadnice jsou: \vec{u}=(u_1;u_2)
- \vec{v} je normálový vektor přímky p, protože je to vektor kolmý k vektoru \vec{u}=(u_1;u_2), jeho souřadnice jsou: \vec{v}=(-u_2;u_1)
Obecná rovnice přímky rovnoběžné s osou x
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/img/rules/primka_vysvetleni4.png)
- Pro všechny body ležící na přímce je druhá souřadnice stejná a to: y=c
- Tedy přímka má obecnou rovnici: y-c=0
Obecná rovnice přímky rovnoběžné s osou y
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/img/rules/primka_vysvetleni3.png)
- Pro všechny body ležící na přímce je první souřadnice stejná a to: x=c
- Tedy přímka má obecnou rovnici: x-c=0
Bod a přímka
Bod M=[m_1;m_2] leží na přímce, jestliže jeho souřadnice vyhovují rovnici přímky. Pokud je přímka daná obecnou rovnicí ax+by+c=0, pro souřadnice bodu, který leží na přímce platí: a\cdot m_1+b\cdot m_2+c=0 Pokud je přímka daná parametricky, po dosazení souřadnic bodu vychází z obou rovnic stejná hodnota parametru t. (Více o vzájemné poloze bodu a přímky.)
Obecná rovnice přímky, která prochází počátkem
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/img/rules/primka_vysvetleni5.png)
- Přímka prochází bodem O=[0;0], tedy souřadnice počátku splňují její obecnou rovnici ax+by+c=0.
- Dosadíme souřadnice bodu O a zkusíme zjistit nějaké informace o konstantách a,b,c.
- a\cdot0+b\cdot0+c=0\Leftrightarrow c=0
- Proto přímka, která prochází počátkem má obecnou rovnici ax+by=0.
Dvě přímky
Přímky rovnoběžné mají stejný směr, tedy jejich směrové vektory jsou kolineární. Normálové vektory dvou rovnoběžných přímek jsou také kolineární. Ve speciálním případě mohou být přímky totožné.
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/img/rules/primka_vysvetleni6.png)
Přímky různoběžné mají jeden společný bod, tento bod musí splňovat rovnice obou přímek. Jejich směrové vektory nejsou kolineární, normálové vektory také nejsou kolineární.
![](https://www.umimeto.org/asset/system/um/img/rules/primka_vysvetleni7.png)
Více o vzájemné poloze dvou přímek.
Přímka v prostoru
Přímku v prostoru nelze vyjádřit obecnou rovnicí. Parametrickou rovnici přímky v prostoru určíme obdobně jako v rovině na základě znalosti souřadnic směrového vektoru a jednoho bodu na přímce.
Zavřít