Čeština
Angličtina
Informatika
Biologie
Umíme to
Němčina
Zeměpis
Chemie
Dějepis
Fyzika
Aritmetika
Zlomky, procenta, desetinná čísla
Geometrie
Elementární algebra
Funkce
Jednotky, míry
Diskrétní matematika
Finanční gramotnost
Rozhodovačka
Pexeso
Krok po kroku
Psaná odpověď
Grafař
Porozumění
Přesouvání
Mřížkovaná
Rozdělovačka
Rozbitá kalkulačka
Roboti
Střílečka
Příšerky
Závody
Týmovka
Rozhodovačka
Hyperbola
Procvičujte neomezeněVáš denní počet odpovědí je omezen. Pro navýšení limitu či přístup do svého účtu s licencí se přihlaste.
Přihlásit se
GSX
QR kód
Kód / krátká adresa
Zkopírujte kliknutím.
Nastavení cvičení
Pozor, nastavení je platné pouze pro toto cvičení a předmět.
Hyperbola
Hyperbola je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou různých bodů (ohnisek) stálý rozdíl vzdáleností 2a, který je menší než vzdálenost ohnisek. Hyperbola se skládá ze dvou částí – větví hyperboly. Tyto dvě větve se blíží k přímkám, které nazýváme asymptoty. 
Středová rovnice hyperboly
Tvar středové rovnice hyperboly o středu S[m;n] s velikostmi hlavní a vedlejší poloosy a,b závisí na poloze hlavní osy.
Středová rovnice hyperboly s hlavní osou rovnoběžnou s osou x
Pokud je hlavní osa rovnoběžná s osou x, rovnice je ve tvaru \frac{(x-m)^2}{a^2} -\frac{(y-n)^2}{b^2}=1
Středová rovnice hyperboly s hlavní osou rovnoběžnou s osou y
Pokud je hlavní osa rovnoběžná s osou y, rovnice je ve tvaru -\frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1
Na rozdíl od elipsy, nemusí být u hyperboly vždy hlavní poloosa a delší než vedlejší poloosa b. Pro rovnoosou hyperbolu dokonce platí a=b.
Jak ze středové rovnice poznat, se kterou souřadnou osou je rovnoběžná hlavní osa hyperboly?
- Podíváme se na znaménka členů s proměnnou x a y.
- Proměnná ve členu, který má před sebou znaménko plus udává, se kterou souřadnou osou je rovnoběžná hlavní osa hyperboly.
- Ve jmenovateli dané proměnné je pak (ve druhé mocnině) velikost hlavní poloosy.
- Stručně řečeno: je-li znaménko plus například u členu s proměnnou x, je hlavní osa rovnoběžná s osou x a ve jmenovateli je druhá mocnina velikosti hlavní poloosy a
Příklad: Určení středové rovnice hyperboly
Určete středovou rovnici hyperboly se středem v bodě S[1;-5], je-li velikost hlavní poloosy 2, velikost vedlejší poloosy 6 a hlavní osa je rovnoběžná s osou y.
- Středová rovnice je ve tvaru -\frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1. Hlavní poloosa má velikost a, vedlejší b.
- Dosadíme souřadnice středu a velikosti hlavní a vedlejší poloosy. Při dosazení si dáme pozor na to, že souřadnice středu odčítáme: -\frac{(x-1)^2}{6^2} +\frac{(y-(-5))^2}{2^2}=1
- Po úpravě: -\frac{(x-1)^2}{36} +\frac{(y+5)^2}{4}=1
Rovnice asymptot
Už víme, že asymptoty jsou přímky, ke kterým se hyperbola blíží. Pomohou při vykreslení hyperboly. Rovnice asymptot závisí na tvaru středové rovnice hyperboly.
Pro hyperbolu danou rovnicí ve tvaru \frac{(x-m)^2}{a^2} -\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 jsou rovnice asymptot:
y=\pm\frac{b}{a}(x-m)+n
Pro hyperbolu danou rovnicí ve tvaru -\frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1 jsou rovnice asymptot:
y=\pm\frac{a}{b}(x-m)+n
Jak načrtnout hyperbolu?
- Nejprve si vyznačíme střed, hlavní a vedlejší vrcholy.
- Poté sestrojíme charakteristický obdélník hyperboly. To je obdélník, který má strany rovnoběžné s osami a vrcholy hyperboly jsou středy jeho stran. Délky jeho stran jsou tedy 2a a 2b.
- Asymptoty jsou úhlopříčky charakteristického obdélníku.
Obecná rovnice hyperboly
Podobně jako existuje několik rovnic elipsy, můžeme i rovnici hyperboly zapsat různými způsoby. Obecná rovnice hyperboly je ve tvaru: Ax^2 +By^2+Cx+Dy+E=0, A\cdot B<0. Podmínka A\cdot B<0 zaručuje, že konstanty A, B mají opačná znaménka. Každá rovnice v tomto tvaru ale nemusí být obecnou rovnicí hyperboly. Praktické ověření, zda se jedná o hyperbolu provádíme převedením na středovou rovnici.
Příklad: Určuje daná rovnice hyperbolu?
Rozhodněte, zda rovnice -x^2+2y^2+8x-18y+31=0 určuje hyperbolu.
- Nejprve si uspořádáme členy: -x^2+8x+y^2-18y+40=0.
- Ze členů s proměnnou x vytkneme -1: -(x^2-8x)+y^2-18y+40=0
- K oběma stranám rovnice přičteme konstantu 81 a odečteme konstantu 16, abychom členy s proměnnými x a y mohli upravit podle vztahu pro (a\pm b)^2: -(x^2-8x+16)+y^2-18y+81+40=81-16
- A upravíme: -(x-4)^2 +(y-9)^2+40=65
- Převedeme konstantu 40 na druhou stranu rovnice: -(x-4)^2 +(y-9)^2 =25
- Na závěr rovnici vydělíme 25: -\frac{(x-4)^2}{25} +\frac{(y-9)^2}{25}=1
- Jedná se tedy o hyperbolu. Hlavní osa je rovnoběžná s osou y a a=b=5.
Hyperbola a přímka
- přímka s protíná hyperbolu ve dvou bodech – sečna hyperboly
- přímka t protíná hyperbolu v jednom bodě – tečna hyperboly
- přímka v hyperbolu neprotíná – vnější přímka hyperboly
Speciální polohou sečny hyperboly je přímka, která je rovnoběžná s asymptotou. Taková sečna pak protíná hyperbolu v jednom bodě. 
Jak rozlišit, je-li přímka tečna nebo sečna?
- Nejprve určíme vzájemnou polohu přímky a hyperboly.
- Pokud vyjdou dva průsečíky, jedná se o sečnu v obecné poloze.
- Pokud vyjde jeden průsečík, musíme ještě rozhodnout, jestli je přímka rovnoběžná s asymptotou. Pokud ne, jedná se o tečnu. V opačném případě jde o sečnu.
Rovnice tečny hyperboly v bodě, který leží na hyperbole
Hyperbola daná rovnicí \frac{(x-m)^2}{a^2} -\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 má v bodě T[x_0;y_0] tečnu danou rovnicí:
\frac{(x-m)(x_0-m)}{a^2} -\frac{(y-n)(y_0-n)}{b^2}=1.
Podobně můžeme zapsat i rovnici tečny hyperboly, která má hlavní osu rovnoběžnou s osou y.
Hyperbola: obecná rovnice (střední)
Vyřešeno:
